¿Ejemplo de campo ' s normal que cierre ' s no abeliano?

Question

Supongamos $K$ es un campo global, $L/K$ es una extensión de campo, y $M$ = normal cierre de $L$ ( $K$ ). Es posible que Gal($M/L$) no es Abelian?

En todos los casos que conozco, $L$ está formado a partir de $K$ colindando raíces de polinomios de la forma $x^n-\alpha$ algunos $n\in\Bbb N, \alpha\in K$. En este caso, la normal de cierre está formado por contigua a todas las $\zeta_n$, $n$- th raíces de la unidad. En este caso, el normal, el cierre es siempre un Abelian extensión de $L$.

Creo que si he utilizado otras formas de polinomios, que debería obtener algunos no Abelian normal cierres; sin embargo, no tengo una técnica que se pueda utilizar para identificar qué grupos de Galois de tales normal cierres de aspecto. Las eventuales referencias que se sería de gran ayuda.

• Pregunta pertinente Intermedio de campo, normal cierre y el grupo de Galois no ayuda.
• Algunos ejemplos de los campos locales se proporcionan aquí.

Answer 1

Deje $f(x) \in K[x]$ ser un polinomio irreducible con grupo de Galois $G$, y deje $L = K[x]/f(x)$, por lo que el $M$ es la división de campo de la $f$. El grupo de Galois $\text{Gal}(M/L)$ es el estabilizador de cualquier raíz de $f$ bajo la acción de $G$; queremos encontrar un ejemplo donde esto es nonabelian. Para ello podemos tomar $f$ a ser un irreductible cuártica con grupo de Galois $G = S_4$ (que existen más de $\mathbb{Q}$, por ejemplo); a continuación, el estabilizador de la raíz es $S_3$, el más pequeño nonabelian grupo. Esta es la más pequeña posible ejemplo.