Cómo probar esto puede elegir dos números enteros positivos$a_{m},a_{k},$ such$\frac{a_{m}+a_{k}}{3a_{p}}\notin N^{+},$

Question

Si $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}(a_{i}\neq a_{j}),n\ge 3$ son enteros positivos,demostrar que: siempre podemos elegir dos números enteros positivos entre ellos, $a_{m},a_{k},m,k\in\{1,2,\cdots,n\}$.tal que $$\dfrac{a_{m}+a_{k}}{3a_{p}}\notin N^{+},\forall p\in\{1,2,3,\cdots,n\}$$

Este problema es de la provincia de Jiangxi Matemático Concurso,2014 .(No he logrado Este año el examen era muy difícil)

mi idea: si $n=3$,Suponga que $a_{1}=1,a_{2}=2,a_{3}=3$,luego tenemos a $a_{p}=1$,entonces podemos optar $a_{m}=2,a_{k}=3$,entonces es claramente $$\dfrac{a_{m}+a_{k}}{3a_{p}}=\dfrac{5}{3}\notin N^{+}$$ si $a_{p}=2$,entonces podemos optar $a_{m}=1,a_{k}=3$

si $a_{p}=3$ podemos optar $a_{m}=1,a_{k}=2$,

Pero en general $n$,lo puedo probar.

Muchas gracias

Answer 1

Podemos suponer $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots <a_n$ sin pérdida. Desde $n\geq 3$ ,$a_n \geq 3$.

Deje que los estados unidos argumentan por inducción en $m=a_n$. Al $m=3$, tenemos $n=3, (a_1,a_2,a_3)=(1,2,3)$ e este caso ya ha sido tratado por el OP.

Ahora, supongamos que el $m>3$, y que el resultado es cierto para $m-1$. Deje $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots <a_n$ ser una secuencia de enteros positivos. Si, para algunos $i \neq j$, $a_i+a_j$ no es divisible por $3$, entonces podemos tome $m=i,k=j$ y hemos terminado. Así, podemos asumir que todas las $a_i+a_j(i \neq j)$ son divisibles por $3$. Así que para cualquier distintos $i,j,k$, $a_j-a_i=(a_j+a_k)-(a_i+a_k)$ es divisible por $3$. Así que todas las $a_i$ son congruentes a una constante $a\in\lbrace 0,1,2\rbrace$ modulo $3$. A continuación, $2a$ es divsible por $3$, por lo $a=0$. A continuación, vemos que todas las $a_i$ son divisibles por $3$ ; escribir $a_i=3b_i$ donde $b_i$ es un entero positivo. Por la hipótesis de inducción, hay índices de $m\neq k$ tal que $\frac{b_n+b_m}{3b_p} \not\in {\mathbb N}$ para cualquier $p$. Desde $\frac{a_n+a_m}{3a_p}=\frac{b_n+b_m}{3b_p}$, hemos terminado.