Métricas en $\mathbb R^n$, Contando funciones continuas y Abiertas conjuntos

Question

Dado el conjunto a $\mathbb{R}^n$ con métrica $d$. Definimos funciones continuas de $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$por la apertura de los conjuntos -decimos que la función es continua iff la pre-imagen de cada conjunto abierto es abierto.

Vamos a decir que el número de bloques abiertos en $(\mathbb{R}^n,d)$$\mathfrak{c}$. ¿Que implica que el número de función continua en $(\mathbb{R^n}, d)$$2^\mathfrak{c}$? O quizás $\mathfrak{c}$? Lo que si el número de conjuntos es $2^\mathfrak{c}$?

Es un problema abierto o conocido?

Answer 1

No estoy seguro sobre el caso general, pero puedo empezar con el caso donde $d$ es la métrica Euclidiana o topológico equivalente. Aquí la respuesta es $\mathfrak{c}$. Mi prueba utiliza el Cantor-Schröder-Bernstein teorema.

Primero hay una inyección de $\mathbb{R^n}$, donde se asigna un vector a una función constante. Segundo, hay una inyección a $(\mathbb{R}^n)^{\mathbb{Q^n}}$ dada por el mapa de restricción. Este mapa es en realidad inyectiva (a diferencia de la mayoría de los mapas de restricción!) básicamente porque $\mathbb{Q}^n$ es densa. (Creo que una propiedad topológica de la codominio también está siendo utilizado aquí, pero no recuerdo lo que es.)

Entonces, debido a $\mathbb{Q}^n$ es contable, $(\mathbb{R}^n)^{\mathbb{Q}^n}$ tiene cardinalidad $\mathfrak{c}$. Por lo $\mathfrak{c} \leq |C(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)| \leq \mathfrak{c}$ es decir $|C(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n|=\mathfrak{c}$ tiene la cardinalidad del continuo.