Proyección ortogonal de una función sobre $M$

Question

Dejemos que $I_1, · · · , I_N$ sean intervalos disjuntos por pares cuya unión sea $[0,1]$ . Sea $$M = \lbrace g ∈ L^2([0,1]) :\text{ g is constant on $ I_n $ } \forall n \rbrace.$$ Supongamos que $f \in L^2([0,1])$ . Determine $P_M f$ .

Por favor, ayuda.

Answer 1

Dejemos que $e_i=\frac{1}{\sqrt{|I_n|}}\chi_{I_n}$ , donde $|I_n|$ denota la longitud de $I_n$ y $\chi_{I_n}$ es la función indicadora de $I_n$ . Tenga en cuenta que $(e_i,e_j)=\delta_{ij}$ Así pues, el $e_i$ forman una base ortonormal para $M$ . Por lo tanto, $P_Mf = \sum_{i=1}^N (f,e_i)e_i$ .