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Un anillo sin multiplicativo de identidad en la que los únicos son los ideales (0) y todo el anillo

Me podría dar un ejemplo de un anillo sin multiplicativo de identidad en la que los únicos son los ideales (0) y todo el anillo?

El ejemplo de anillo pueden ser no-conmutativa o conmutativa..

8voto

Proffering la siguiente. Deje $V$ ser el espacio de la secuencia de los números reales (en cualquier campo de trabajo de la misma) con base $e_i, i\in\Bbb{N}$. Deje $R$ ser el conjunto de transformaciones lineales $T$ que $T(e_i)=0$ para todos, pero un número finito de $i$. Así que, básicamente, $R$ se compone de $\infty\times\infty$ matrices con sólo un número finito distinto de cero filas y columnas. En otro sentido, $R$ es el lineal de la envergadura de las transformaciones $T_{i,j}$ determinado por $T_{i,j}(e_k)=\delta_{ik}e_j$ (imaginar una matriz con una única entrada igual a uno y el resto igual a cero).

  • $R$ es un generador de números aleatorios en virtud de la adición y la composición de transformaciones. Dejando esto como un ejercicio.
  • $R$ no tiene identidad multiplicativa. Esto es básicamente porque la $id_V\notin R$. Ninguna otra transformación funciona como un elemento neutro para todos los $T_{i,j}$s.
  • $R$ no tiene no trivial 2 caras ideales. Si usted comienza con un valor distinto de cero de la matriz $A$, usted puede pre - y postmultiply con adecuado matrices para producir uno con una sola entrada distinto de cero. Usted puede, a continuación, pre - y postmultiply con finitely apoyado permutación de matrices para mover esa única entrada distinto de cero en cualquier lugar que desee. Por lo tanto, cualquier ideal que contiene a $A$ debe contener todas las transformaciones $T_{i,j}$, y por lo tanto ser igual a $R$.

7voto

G Tony Jacobs Puntos 5904

Usted puede hacer esto con un $2$-elemento de anillo, es decir, el sub-anillo $\{0,2\}$$\Bbb Z/4\Bbb Z$, aka, $2\Bbb Z/4\Bbb Z$.

Hace que el trabajo?

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