Encontrar la fórmula para la suma parcial de los términos polinomiales?

Question

Por ejemplo, sabemos que el siguiente es verdadero (y puede ser fácilmente derivados):

$\sum\limits_{x=1}^{n}x = \frac{1}{2}n(n+1)$

Pero, ¿y si queríamos encontrar la suma de una serie como esta:

$\sum\limits_{x=1}^{n}x(2x+1)$

Wolfram|Alpha me dice que la respuesta es $\frac{1}{6}n(n+1)(4n+5)$, pero estoy en una pérdida en cuanto a cómo se vino para arriba con esta respuesta. Hay un método sencillo para encontrar la fórmula general para una suma parcial de la forma $\sum\limits_{x=1}^{n}y(x)$ donde $y(x)$ es un polinomio racional raíces?

Answer 1

Deje $p(x)=\sum\limits_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}$

Dicen que wan no encontrar a $\sum p(x)$.

No hay una fórmula general para $\sum x^{k}$.

$$1^{k}+2^{k}+\cdots+n^{k}=\sum\limits_{i=1}^{k}S(k,i)\binom{n+1}{i+1}i!\\=\frac{n^{k+1}}{k+1}+\frac{1}{2}n^{k}+B_{1}\frac{r}{2!}n^{r-1}-\cdots$$

Donde $S(k,i)$ es el número de Stirling del Segundo Tipo y $B_{r}$ denots la de Bernoulli Números.

Así que el uso que usted puede encontrar la suma de cualquier polinomio.

La suma- $$\sum x(2x+1)=2\sum x^{2}+\sum x=2\binom{n+1}{2}+4\binom{n+1}{3}+\binom{n+1}{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(4n+5)$$

Answer 2

Aquí mi favorito es el método que funciona para cualquier polinomio (racional de las raíces o de otra manera) y sólo es necesario recordar dos hechos básicos, uno de cálculo y uno sobre polinomios. En primer lugar, desde sumatorias son análogas a las de integración, tenemos que

$$\int x^k \approx x^{k+1} \Rightarrow \sum x^k \approx x^{k+1}.$$

Para tu problema, vamos a definir

$$f(n)=\sum_{x=1}^n x(2x+1)$$

y desde el sumando es un polinomio de grado dos, la suma de $f(n)$ debe ser un polinomio de grado tres. A continuación, utilizando el (segundo) en el hecho de que un polinomio de grado tres puede ser determinada únicamente por cuatro puntos, los puntos de uso $$(1,f(1)),(2,f(2)),(3,f(3)),(4,f(4))$$ y calcular el único interpolación polinomial y se obtiene

$$f(n)=\frac{1}{6}n(n+1)(4n+5).$$

Vamos a pensar en ello, esto debería funcionar para los complejos polinomios.

Listo, listo, y listo!

Answer 3

Primero de todo, tenga en cuenta que: $\sum\limits_{x=1}^{n}x(2x+1) = 2\sum\limits_{x=1}^n x^2 + \sum\limits_{x=1}^n x$.

$\sum\limits_{x=1}^n x^2$ son conocidos como piramidal número (google alrededor de la misma) y tienen una forma cerrada de la solución:

$\sum\limits_{x=1}^n x^2 = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}$

Ya sabes que $\sum\limits_{x=1}^n x = \frac{n^2 + n}{2}$.

Entonces, la solución está dada.

Por CIERTO, no sé si hay una fórmula general para cualquier $\sum\limits_{x=1}^n x^k$.

Answer 4

Sugerencia:$$\sum\limits_{x=1}^{n}x(2x+1)=2\sum\limits_{x=1}^{n}x^2+\sum\limits_{x=1}^{n}x =2(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})+\frac{1}{2}n(n+1)$$