La fórmula para calcular la suma que casi lo correcto : $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^3}$

Question

Estimación de la suma correcta a tres decimales : $$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^3}$$

Este problema es en mi tarea. Me parece que n = 22 cuando el uso de Maple para resolver esto. (con algo de programación), Pero, en mi tarea, el maestro dijo que encontrar la fórmula para este problema.

Gracias :)

Answer 1

Por la Alternancia de Serie de la Prueba, el error a una corriente alterna de la serie con monótonamente decreciente términos es el siguiente plazo para ser añadido. Por lo tanto, para obtener tres decimales, tenemos que encontrar una $n$, de modo que $n^3>2000$, que sería $n=13$. Por lo tanto, la suma de los 12 primeros términos deben recibir dentro de 3 decimales.

Answer 2

$$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^3} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{k^3}-\dfrac{1}{(k+1)^3}\right)= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{(k+1)^3-k^3}{k^3(k+1)^3}\right)$$

$$= \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(k+1-k)(k^2+k+1)}{k^3(k+1)^3}$$

$$= \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k^2+k+1}{k^3(k+1)^3}$$

$ $

Tenga en cuenta que para la suma para tener una precisión de 3 decimales aviones el enésimo término debe ser menor que 0.001

Por lo tanto, tenemos $$\dfrac{k^2+k+1}{k^3(k+1)^3} < \dfrac{1}{1000}$$

Usted notará que la respuesta puede ser $2k$ o $2k+1$

Voy a pensar en ello más tarde, cómo fijar el punto, voy a tener que ir ahora, déjame saber lo que ustedes piensan al respecto

El uso de wolfram usted encontrará que $k=5.18$ satisface la desigualdad

Por lo tanto, el menor valor de $k$ a satisfacer la desigualdad se $6$

Y, por tanto, la respuesta puede ser $12$ o $13$

En realidad debería ser $n=13$ términos, ¿ me necesitas para explicar eso? Trata de pensar en primer lugar, hay una clara razón lógica para $n = 13$ e no $n=12$.

Answer 3

Con un poco de aproximación, se puede alcanzar el nivel deseado de $5\times 10^{-4}$ de precisión con menos términos.

Aviso

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3} = -\left[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}- \sum_{n=1}^\infty\frac{2}{(2n)^3}\right] = -\frac34\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} = -\frac34\zeta(3)$$

Si queremos calcular la suma de la izquierda precisa a a $5\times 10^{-4}$, sólo basta para estimar el $\zeta(3)$ exacta a a $6.67\times 10^{-4}$. En la suma de $\zeta(3)$, si tomamos un $m$ y reemplace$\displaystyle\;\frac{1}{n^3}$$\displaystyle\;\frac{1}{n^3-n}$$n \ge m$, el error introducido $\mathcal{E}_m$ es

$$\mathcal{E}_m =_{def} \sum_{n=m}^\infty\left(\frac{1}{n^3-n} - \frac{1}{n^3}\right) = \sum_{n=m}^\infty \frac{1} {n^2-1)n^3} \le \frac{m^2}{m^2-1}\sum_{n=m}^\infty \frac{1}{n^5} $$ Desde $\displaystyle\;\frac{1}{x^5}$ es una función convexa, tenemos

$$\frac{1}{n^5} \le \int_{n-1/2}^{n+1/2} \frac{dx}{x^5} \quad\implica\quad \mathcal{E}_m \le \frac{m^2}{m^2-1}\int_{m-1/2}^\infty \frac{dx}{x^5} = \frac{m^2}{4(m^2-1)(m-1/2)^4} $$ Para$m = 5$,$\displaystyle\;\mathcal{E}_5 = \frac{25}{39366} \approx 6.35\times 10^{-4}\;$. Esto ya es lo suficientemente bueno para nuestros propósitos. Aviso

$$\sum_{n=m}^{\infty}\frac{1}{n^3-n} = \sum_{n=m}^{\infty}\frac{1}{(n-1)n(n+1)} = \sum_{n=m}^{\infty}\left(\frac{1}{2(n-1)n}-\frac{1}{2n(n+1)}\right) = \frac{1}{2(m-1)m} $$ Nos encontramos con el original de la suma es aproximadamente igual a $$-\frac34 \left( 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \frac{1}{2\cdot 4\cdot5} \right) = -\frac{10391}{11520} \approx -0.90199653$$ con un error menor que $5\times 10^{-4}$. Compare esto con el valor exacto de la suma de $\approx -0.90154268$, la diferencia $\approx -4.5385 \times 10^{-4}$ es de hecho menor que $5 \times 10^{-4}$.

Answer 4

Yo recomiendo el de Euler–Maclaurin fórmula para esta tarea. Sin embargo, dado que este es el Dirichlet eta función hay una rica recompensa de aproximaciones numéricas para los valores de + derivaciones de dichas aproximaciones.