Dado$a>b>2$ ambos enteros positivos, ¿cuál de$a^b$ y$b^a$ es más grande?

Question

Dado$a>b>2$ ambos enteros positivos, ¿cuál de$a^b$ y$b^a$ es más grande?

Intenté un enfoque de inducción. Primero mostré que si$b=3$ entonces cualquier$a \geq4$% satisfizo$a^b<b^a$.

Luego, usando eso como mi caso base, traté de mostrar que dado cualquier par de enteros positivos$a,b$ satisfaciendo$a>b>2$ y$a^b<b^a$, entonces$(a+1)^{b+1}<(b+1)^{a+1}$ - pero ahí es donde me quedé .

Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Supongamos por un momento:$$a^b = b^a.$ $ Toma de registro natural: $$ b \ ln a = a \ ln b, $$ que es $$ \ frac {\ ln a} {a} = \ frac {\ ln b } {b}. $$ Ahora considere la función: $$ f (x) = \ frac {\ ln x} {x}, $$ donde $$ f '(x) = \ frac {1 - \ ln x} {x ^ 2} <0 \ quad \ text {if} \; x> e. $$ Creo que podrías tomarlo desde aquí.

Answer 2

El resultado sigue fácilmente usando cálculo. Aquí hay un enfoque elemental, que utiliza el hecho de que$a, b$ son enteros positivos.

Considerar $n \geq 3$. Entonces$$(n+1)^n=\sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}n^{n-i}}=1+n^2+\sum_{i=0}^{n-2}{\binom{n}{i}n^{n-i}}<n^n+\sum_{i=0}^{n-2}{n^n}=n^{n+1}$$ since $ \ binom {n} {i} \ leq n ^ i$, and $ 1 + n ^ 2 <n ^ n$ for $ n \ geq 3 $.

Por lo tanto,$n^{\frac{1}{n}}>(n+1)^{\frac{1}{n+1}}$ para$n \geq 3$. Esto implica inmediatamente que$a^{\frac{1}{a}}<b^{\frac{1}{b}}$, entonces$a^b<b^a$.

Answer 3

Insinuación:

¿Cuál es más grande,$b\ln a$ o$a\ln b$?

¿Cuál es más grande,$\dfrac{\ln a}{a}$ o$\dfrac{\ln b}{b}$?

¿Cómo se comporta$\dfrac{\ln x}{x}$ como$x$? Parece un trabajo para el derivado.

Answer 4

Otro enfoque elemental:
Primero note que es suficiente para probar que$n^{n+1}>(n+1)^n$ para$n\ge 3$. Dividimos ambos lados entre$n^n$ para convertirlo en$n>(1+1/n)^n$. Como último paso, muestre por inducción que$(1+1/n)^n\le n$ para$n\ge3$.

El caso$n=3$ es claro. Ahora, si$(1+1/k)^k\le k$, entonces$(1+1/(k+1))^{k+1}\le (1+1/(k))^{k+1}\le k(1+1/(k))\le k+1$.

QED
Informarme si algo necesita mejoras. Gracias por adelantado.

Answer 5

La mayoría de las respuestas presentadas son fabulosos, pero vamos a procurar hacer esto tan simple como sea humanamente posible, aprovechando la intuición principalmente.

~Comenzar por preguntarnos: ¿Qué es más grande, $2^3$ o $3^2$? $~8<9$.

~Continuar preguntando: Que es más grande, $3^4$ o $4^3$? $~81>64$. --> Esta es una reversión de la desigualdad porque el 'peso' de la exponente de la operación comienza a dominar como los números se hace más grande.

~Concluir preguntar: ¿cuál es más grande, $4^5$ o $5^4$? $~1024>625$. --> La disparidad es más extrema en términos absolutos, y es probable que crece a medida que n aumenta a ∞.

---La tendencia sugiere fuertemente que $a>b>2$. Por supuesto, más rigor que se necesita para confirmar de forma definitiva que la tendencia no a la inversa, pero la intuición deja pocas dudas.