Integrar

Question

Estoy buscando consejos sobre cómo uno puede acercarse a la siguiente integral definida:

$$ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^4 + x^2}\, dx$$

O, más en general:

$$ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^4 + \alpha x^2}\, dx, \quad \alpha > 0$$

Mathematica devuelve el siguiente resultado, que parece correcto basado en la verificación numérica:

$$ \frac{\pi e^{\frac{\alpha ^2}{8}} \sqrt{\alpha } \left(I_{\frac{1}{4}}\left(\frac{\alpha ^2}{8}\right)+I_{-\frac{1}{4}}\left(\frac{\alpha ^2}{8}\right)\right)}{2 \sqrt{2}} $$

Aquí $I_a$ es función modificada de Bessel de primera especie, de la que no estoy muy familiarizado con, a pesar de su definición como la solución de una ecuación diferencial.

Hay algo que yo pueda hacer, aparte de examinar fórmula tablas como esta (p. 21), para ver cómo uno puede llegar a este resultado, o tal vez de cómo llegar a un diferente (y potencialmente más útil) de la representación?

Answer 1

En general, $~\displaystyle\int_0^\infty\exp\Big(-\sqrt[N]x\Big)~dx~=~N!~,~$ así que incluso un relativamente simple en busca de la expresión como

$\displaystyle\int_0^\infty\exp\Big(-x^4\Big)~dx~=~\Big(\tfrac14\Big)!~=~\Gamma\bigg(1+\frac14\bigg)~=~\Gamma\bigg(\frac54\bigg)~$ no puede ser expresado en términos de

funciones elementales, digamos un poco más complejo, como $~\displaystyle\int_0^\infty\exp\Big(-x^4+ax^2\Big)~dx,~$

para cuyo evaluaciones aún más oscuro funciones especiales son necesarios. Un primer paso, en este caso,

sería emplear la paridad de el integrando, por la reescritura de $~\displaystyle\int_{-\infty}^\infty~=~2\displaystyle\int_0^\infty$

---

Básicamente, como $~\displaystyle\int_0^\infty\exp\Big(-\sqrt[n]x\Big)~dx~$ no se puede expresar en términos de funciones elementales,

pero requiere la creación de una completamente nueva función, llamada factorial, para ayudar a expresar su valor,

dando lugar a la más general de resultado $~\displaystyle\int_0^\infty x^{m-1}\cdot\exp\Big(-\sqrt[n]x\Big)~dx~=~n~\Gamma(mn),~$ que, mediante la sustitución de

el límite inferior con un valor arbitrario se convierte en unexpressible incluso en términos de este último, así

exigir la creación de otro $($$)$ función para ayudar a analizar su valor, acabó cediendo

$\displaystyle\int_\ell^\infty x^{m-1}\cdot\exp\Big(-\sqrt[n]x\Big)~dx~=~n~\Gamma\Big(mn,~\sqrt[n]\ell\Big),~$ , por lo que esta última expresión también es igualmente

inútil cuando se le preguntó a evaluar $~\displaystyle\int_\ell^\infty(x+u)^{m-1}\cdot\exp\Big(-\sqrt[n]x\Big)~dx,~$, $~m=n=\dfrac12$

y $~u~=-\ell~=~\dfrac a2~,~$ se convierte en nuestro originales integral.

Answer 2

Es digno de representar gráficamente estas funciones (y jugando con los parámetros). Para $x>1$ son tanto monotono similar a la tasa de crecimiento exponencial. La diferencia está en el rango de $[0,1]$ donde $I_{\frac{1}{4}}$ es más como $x^{\frac{1}{4}}$ $I_{\frac{-1}{4}}$ es más como $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$.

Pero el punto principal que quiero hacer es que nuestra clasificación de algunas funciones elementales es algo arbitrario y, principalmente, un accidente histórico. Si fue hecho desde cero sobre una base más racional, muchas otras funciones, como estos dos, sería clasificada como primaria. Ellos tienen el poder de la serie, muy interesante, de relaciones, de curvas suaves, etc. Además, por supuesto, es igual de fácil para obtener sus valores, representar, manipular, etc, con el software adecuado, como lo es con el coseno o de registro.

Los primeros dos gráficos muestran las dos funciones de Bessel en contra de los poderes correspondientes de $x$ en el rango $[0,1]$. En cada caso la curva marrón es la función de Bessel.

En los próximos dos usted ve el rango de $x>1$: la curva azul es la exponencial, la curva verde es un polinomio, y el marrón de la curva es la función de Bessel.

Answer 3

Puedes tomar la serie taylor alrededor de x = 0, que es la suma de 0 a infinito de$(-x^4+x^2)^/k!$, toma todos los términos que quieras para precisión e integra el polinomio.

Obtendrá$x+x^3/3-x^5/10-5x^7/42+x^9/216+41x^{11}/3120+O(x^13)$. Integre esto sobre un dominio adecuadamente grande que se asemeja gráficamente de -2 a 2, mejore el número de términos en la expansión para mejorar la precisión.