Solución de la EDO como serie de potencias

Question

Considere la ecuación $$(x+3)y''+2y'-4(x+3)y=0.$$ Intentaba resolverlo encontrando la solución en forma de serie de potencias. Sin embargo, me he atascado al intentar encontrar alguna regularidad en los coeficientes, mientras que Wolfram Alpha proporciona una respuesta bastante agradable. ¿Podría indicarme la dirección?

Answer 1

Hay un truco de vida justo para ti: resuelve la cosa con Wolfram, ve cómo se podría simplificar, y luego resuélvela de la manera que se suponía. ¿Y si cambiamos a $u(x)=(x+3)\cdot y(x)$ y buscarlo en forma de serie de potencias?

Answer 2

Ciertamente se podría utilizar la serie de potencias, pero yo utilizo la expansión sobre el punto $x=-3$ en lugar de $x=0$ (ya que tiene esos $(x+3)$ términos). Alternativamente, dejemos que $z(x)=(x+3)y(x)$ Así que $z'=(x+3)y'+y$ y $z''=(x+3)y''+2y'$ . Entonces se puede encontrar una EDO bastante sencilla para $z$ y resolverlo como quieras.