¿Qué acerca de la $\ell^1$ con pointwise multiplicación

Question

Esta pregunta se me ocurrió después de leer este hilo.

Yo estaba trabajando en encontrar un ejemplo de un álgebra de Banach. El ejemplo que se me ocurrió fue $\ell^1 (\mathbb N)$ con pointwise la multiplicación. Creo que incluso me demostró que $\ell^1 (\mathbb N)$ es cerrado con respecto a pointwise la multiplicación y de la que la norma es submultiplicative.

Es realmente posible que $\ell^1 (\mathbb N)$ puede convertirse en un álgebra de Banach en dos formas, mediante la convolución y por pointwise multiplicación, o hay necesariamente un error en mi prueba? (Estoy feliz de anunciar la prueba si la respuesta es sí, por ahora sólo estoy tratando de mantener a esta pregunta corto)

Answer 1

Yo no veo ninguna contradicción, a primera vista. De hecho, cualquier espacio de Banach puede ser hecho en un álgebra de Banach si se define el producto como cero.