¿Qué es $\;\int xe^{-x^2} \,dx\;?$

Question

¿Qué es $$\int xe^{-x^2} dx\quad?$$

He utilizado la sustitución para volver a escribir como $$\int -\dfrac{1}{2}e^u\, du$$ but this is too hard for me to evaluate. When I used wolfram alpha for $\int e^{-x^2} dx$ tengo una extraña respuesta que implican lo que se llama una función de error y pi y tal (supongo que tiene algo que ver con la identidad de Euler, pero estoy bastante seguro de que esto está por encima de mis libros de texto del nivel).

Answer 1

El problema es encontrar $$\int xe^{-x^2}\,dx.$$ Así que estamos tratando de encontrar las funciones de $F(x)$ tal que $$F'(x)=xe^{-x^2}.$$ Podemos comprobar fácilmente, mediante la diferenciación, que $F(x)=-\frac{1}{2}{e^{-x^2}}$ "funciona", y por lo tanto el general $F(x)$ tal que $F'(x)=xe^{-x^2}$ está dado por $F(x)=-\frac{1}{2}e^{-x^2}+C$.

El problema de encontrar una función $G(x)$ tal que $G'(x)=e^{-x^2}$ es totalmente diferente, aunque las dos funciones de $xe^{-x^2}$ $e^{-x^2}$ están estrechamente relacionados. Resulta que no hay ninguna primaria función cuya derivada es $e^{-x^2}$. En términos generales, a una primaria de la función es una función que se construyen a partir de las funciones familiares mediante el uso de la suma, resta, multiplicación, división y composición (sustitución).

Por lo $xe^{-x^2}$ $e^{-x^2}$ son funciones elementales. La primera tiene una escuela primaria integral indefinida. El segundo no. La segunda función es muy importante para muchas aplicaciones. No es una función cuya derivada es $e^{-x^2}$, y que la función es útil. Lo que ocurre es que no sea un elemental de la función.

Debido a que la función $e^{-x^2}$ es tan importante, una antiderivada de una función estrechamente relacionada ha dado un nombre, la función de error, a menudo escrito como $\operatorname{erf}(x)$. Que es lo que Alfa estaba hablando. Si alguna vez estudiar la probabilidad o estadística, va a estar profundamente familiarizado con la función de error.

De vuelta a nuestro problema! Estamos tratando de integrar los $xe^{-x^2}$. Nosotros ya lo hizo antes, por una "conjetura y de verificación" método. Pero eso no es totalmente satisfactoria, por lo que ahora usamos un método estándar, de sustitución.

Como en su post, vamos a $u=-x^2$. A continuación,$du=-2x\,dx$, lo $x\,dx=-\frac{1}{2}\,du$. Sustituto. Tenemos $$\int xe^{-x^2}\,dx=\int -\frac{1}{2} e^u\,du=-\frac{1}{2}e^u+C=-\frac{1}{2}e^{-x^2}+C.$$ Búsqueda de $\int e^u\,du$ fue fácil. Sabemos que la derivada de $e^t$ con respecto al $t$$e^t$, lo $\int e^t\,dt=e^t+C$.

Pruebe las siguientes estrechamente relacionados con los problemas.

$1.$ $\int e^{5x+17}\,dx$.

$2.$ $\int (\cos x)e^{\sin x}\,dx$ .

Answer 2

Su sustitución fue irregular. Pones $$u = -x^2 \implies du = -2x\;dx \implies x\,dx = -\frac 12\, du$$

Y habiendo sustituido, obtuvo $$\int -\dfrac{1}{2}e^u\, du$$ Gran trabajo. Pero creo que se rindió demasiado pronto!: $$-\frac 12\int e^u \, du = -\frac 12 e^u + C,\tag{1}$$ and recall, $u = f(x), \;du = f'(x)\,dx$, so $(1)$ is equivalent to $$-\frac 12 \int e^{f(x)}\,f'(x)\,dx = -\frac 12 e^{f(x)} + C$$

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Así que podemos integrar de la siguiente manera, y luego de vuelta-suplente: $$\int -\dfrac{1}{2}e^u\, du = -\frac 12 \int e^u \,du = -\frac 12 e^u + C = -\frac 12 e^{-x^2} + C\tag{2}$$

Ahora, para quitar todas las dudas, simplemente diferenciar el resultado dado por $(2)$: $$\frac{d}{dx}\left(-\frac 12 e^{-x^2} + C\right) = -\frac 12(-2x)e^{-x^2} = xe^{-x^2}$$ que es lo que se propuso integrar: $\color{blue}{\bf x}e^{-x^2} \neq e^{-x^2}$

Answer 3

Deje $u = -x^2$. De ello se desprende que $du = -2xdx$. Así que, a continuación,

$$\int xe^{-x^2}dx = -\frac{1}{2}\int -2xe^{-x^2}dx = -\frac{1}{2}\int e^udu = -\frac{1}{2}e^u + C = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + C.$$