Demostrar la reflexión en un hyperplane es lineal en el mapa

Question

Vamos $\alpha \in \mathbb{R}^n$, $n \geq 2$, que no sea un vector cero. Definir una reflexión en el hyperplane perpendicular a $\alpha$ por: $$\sigma_{\alpha}(v) = v - \dfrac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \cdot \alpha$$ ( $(x, y)$ , es habitual el interior del producto en $\mathbb{R}^n$).

1) Mostrar el $\sigma_{\alpha}$ es lineal en el mapa que corrige el hyperplane ortogonal a $\alpha$ y envía $\alpha$$-\alpha$.

2) $\alpha, \beta$ vectores no nulos, determinar cuando el subgrupo $\langle \sigma_{\alpha}, \sigma_{\beta} \rangle$ es infinito. Encontrar su fin cuando es finito.

2) no entiendo lo que es el grupo. Si $\sigma_{\alpha}$ $\sigma_{\beta}$ son los elementos de un grupo, ¿qué otros elementos que generan? Como por ejemplo, $\sigma_{\alpha}(\sigma_{\beta}(v)) = \left(v - \dfrac{2(v, \beta)}{(\beta, \beta)} \cdot \beta \right) - \dfrac{2\left(v - \dfrac{2(v, \beta)}{(\beta, \beta)} \cdot \beta, \beta \right)}{(\beta, \beta)} \cdot \beta$, lo cual supongo que tiene sentido (en el sentido de que los productos de puntos de trabajo en esta función ya que el producto escalar entre los vectores). Pero ¿cómo puedo saber cuando habrá una infinita cantidad de estos, y cuando habrá un número finito?

Ni siquiera puedo encontrar una identidad a la función $\sigma$, debido a que la composición de la $\sigma_{\alpha}$ $\sigma_{\beta}$ $\sigma_{\beta}$ sólo al $\sigma_{\alpha} = v$, pero esta es una función constante y no reflejan $\alpha$ sobre el hyperplane a $-\alpha$, por lo que esta función constante no puede estar en el grupo.

Answer 1

Para su primera subquestion de 1), el hyperplane se describe en la pregunta: es el hyperplane ortogonal a $\alpha$. Usted sabe de álgebra lineal que este hyperplane es la solución de la ecuación de $\alpha \cdot v = 0$. Así que su objetivo es llevarse $v$ en que hyperplane, es decir, tomar cualquier $\nu$ tal que $\alpha\cdot v=0$, y demostrar que la ecuación de $\sigma_\alpha(v)=v$.

Para su segundo subquestion de 1), $\alpha$ es un vector, y es una constante, por lo que es un vector constante (a diferencia de $v$ que es un vector, y se trata de una variable, por lo que es un vector de variables). Decir que una función $f$ envía $a$$b$$f(a)=b$. Por tanto, decir que la función de $\sigma_\alpha$ envía $\alpha$ $-\alpha$significa que $\sigma_\alpha(\alpha)=-\alpha$. Que es la ecuación se le pide que demuestre.

Para 2), estás en lo correcto de que una función no es un grupo, pero no se pregunta usted a creer que una función es un grupo. En lugar de ello, la pregunta que usted crea que el conjunto de todos lineal isomorphisms de $\mathbb{R}^n$ es un grupo bajo la operación binaria de composición \begin{array}{rcl} \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n} &=& \sum_{n=1}^\infty (2n-1) \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{2^k} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2n-1}{2^{n-1}} \\ &=& \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k} + \sum_{n=1}^\infty 2 \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{2^k} \\ &=& 2 + \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{2^{n-1}} \\ &= & 2 + 2 \cdot 2 = 6 \endusted puede haber oído hablar de este grupo, se denota $GL(n,\mathbb{R})$. También, se le pedirá que cree que si $\alpha$ es un vector constante, a continuación, $\sigma_\alpha$ es un elemento del grupo $GL(n,\mathbb{R})$. También, si se fijan dos constantes vectores $\alpha$$\beta$, entonces se le pedirá que cree que hay un subgrupo de $GL(n,\mathbb{R})$ denotado $\langle \sigma_\alpha,\sigma_\beta \rangle$ y llamado el subgrupo de $GL(n,\mathbb{R})$ que es generado por $\sigma_\alpha,\sigma_\beta$.

Answer 2

Obtener algo de intuición a partir de tres dimensiones de la primera. Dicen que la intersección de los dos planos es el eje se extendió por $\gamma$. A continuación, $\{\alpha,\beta,\gamma\}$ es una base, y las reflexiones que sólo actúan sobre el $\alpha$ $\beta$ componentes de cualquier vector. Esto generaliza: demostrar que ${\rm span}\{\alpha,\beta\}$ es el complemento ortogonal de los aviones de la intersección.

(En general, $A^\perp\cap B^\perp=(A+B)^\perp$ para cualquier subespacios $A,B$ de un producto interior en el espacio.)

Así que realmente, usted sólo tiene que preocuparse de lo que las reflexiones que hacer para que el avión $\alpha$ $\beta$ generar. Que sólo dos dimensiones de la que preocuparse. Sin pérdida de generalidad, decir que una reflexión es a través de la $x$-eje y la otra es a través de la línea de $y=\tan(\theta)x$ (lo que hace un ángulo de $\theta$ $x$- eje). ¿Qué es exactamente la composición de dos reflexiones?

Si ayuda, dibujar estas dos líneas en una hoja de papel, y poner un punto de $P$ justo debajo de la $x$-eje en el cuarto cuadrante. Reflejar a través de la $x$-eje para obtener un punto de $Q$, luego reflejar a través de la otra línea para obtener el punto de $R$. Si la etiqueta de todos los ángulos (entre las líneas y el imaginario de los segmentos de línea uniendo el origen de los tres puntos) usted debe ser capaz de hacer algunas deducciones acerca de los ángulos y, a continuación, obtener una idea de cuál es la composición de dos reflexiones.

(Spoiler: vas a estar pensando en $n$-ágonos y diedro grupos pronto después de eso).