Inferior y superior de integración de la desigualdad

Question

Me gustaría saber cómo probar que la siguiente desigualdad se cumple.

Deje $F$ ser un almacén de la función en un intervalo de $[a,b]$, por lo que no existe $B\geq 0$ tal que $|f(x)| \leq B$ por cada $x\in [a,b]$.

Mostrar que $[ U(f^2,P) -L(f^2,P) \leq 2B [ U(f,P) -L(f,P) ] ]$ para todas las particiones $P$$[a,b]$.

Answer 1

La notación. Para cualquier finction $\varphi:[a,b]\to\mathbb{R}$ denotamos $$ M_{[\alpha,\beta]}(\varphi)=\sup\limits_{x\in[\alpha,\beta]}\varphi(x)\qquad m_{[\alpha,\beta]}(\varphi)=\inf\limits_{x\in[\alpha,\beta]}\varphi(x) $$ donde $[\alpha,\beta]\subset[a,b]$. Para una partición determinada $P=\{\Delta_1,\ldots,\Delta_n\}$ $[a,b]$ denotamos $$ U(f,P)=\sum\limits_{i=1}^n M_{\Delta_i}(f)|\Delta_i|\qquad L(f,P)=\sum\limits_{i=1}^n m_{\Delta_i}(f)|\Delta_i| $$

La proposición. Deje $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ ser un verdadero valorado delimitada la función tal que $|f(x)|\leq B$ todos los $x\in[a,b]$. Deje $P$ ser la partición de $[a,b]$, luego $$ U(f^2,P)-L(f^2,P)\leq 2B(U(f,P)-L(f,P)) $$

La prueba Para cada una de las $i\in\{1,\ldots,n\}$ hemos $$ \begin{align} M_{\Delta_i}(f^2)-m_{\Delta_i}(f^2) &=M_{\Delta_i}(|f|^2)-m_{\Delta_i}(|f|^2)\\ &=M_{\Delta_i}(|f|)^2-m_{\Delta_i}(|f|)^2\\ &=(M_{\Delta_i}(|f|)+m_{\Delta_i}(|f|))(M_{\Delta_i}(|f|)-m_{\Delta_i}(|f|))\\ &\leq 2B(M_{\Delta_i}(|f|)-m_{\Delta_i}(|f|))\\ &\leq 2B(M_{\Delta_i}(f)-m_{\Delta_i}(f))\\ \end{align} $$ Por lo tanto $$ \begin{align} U(f^2,P)-L(f^2,P) &=\sum\limits_{i=1}^n(M_{\Delta_i}(f^2)-m_{\Delta_i}(f^2))|\Delta_i|\\ &\leq\sum\limits_{i=1}^n 2B(M_{\Delta_i}(f)-m_{\Delta_i}(f))|\Delta_i|\\ &2B(U(f,P)-L(f,P)) \end{align} $$

Observación. Esta prueba utiliza varias propiedades estándar de $M_\Delta$ $m_\Delta$ funciones. Estas propiedades se demuestran a continuación.

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Lema. Deje $\varphi:[a,b]\to\mathbb{R}$ ser un verdadero valorado delimitada la función tal que $|\varphi(x)|\leq K$ todos los $x\in[a,b]$. Deje $\Delta\subset[a,b]$

1. $M_\Delta(\varphi)-m_\Delta(\varphi)=\sup_{x,y\in\Delta}|\varphi(x)-\varphi(y)|\tag{1}$
2. $M_\Delta(|\varphi|)-m_\Delta(|\varphi|)\leq M_\Delta(\varphi)-m_\Delta(\varphi)\tag{2}$
3. $M_\Delta(|\varphi|)\leq K\qquad m_\Delta(|\varphi|)\leq K\tag{3}$

Prueba. 1) Para todos los $x,y\in\Delta$ tenemos $m_\Delta(\varphi)\leq \varphi(x)\leq M_\Delta(\varphi)$$m_\Delta(\varphi)\leq \varphi(y)\leq M_\Delta(\varphi)$, por lo que $$ |f(x)-f(y)|\leq M_\Delta(\varphi)-m_\Delta(\varphi)\etiqueta{*} $$ Fix $\varepsilon>0$, entonces no existe $\tilde{x}\in\Delta$, $\tilde{y}\in\Delta$ tal que $M_\Delta(\varphi)<\varphi(\tilde{x})+\varepsilon/2$ $m_\Delta(\varphi)>\varphi(\tilde{y})-\varepsilon/2$ . Por lo tanto $$ M_\Delta(\varphi)-m_\Delta(\varphi)<\varphi(\tilde{x})-\varphi(\tilde{y})+\varepsilon\etiqueta{**} $$ Desde $\varepsilon>0$ es arbtrary $(\,^{*})$ $(\,^{**})$ implica $$ M_\Delta(\varphi)-m_\Delta(\varphi)=\sup\limits_{x,y\in\Delta}|\varphi(x)-\varphi(y)| $$

2) Para todas las $x,y\in\Delta$ tenemos $||\varphi(x)|-|\varphi(y)||\leq|\varphi(x)-\varphi(y)|$, por lo tanto el uso de $(1)$ tenemos $$ M_\Delta(|\varphi|)-m_\Delta(|\varphi|)=\sup\limits_{x,y\in\Delta}||\varphi(x)|-|\varphi(y)||\leq\sup\limits_{x,y\in\Delta}|\varphi(x)-\varphi(y)|=M_\Delta(\varphi)-m_\Delta(\varphi) $$

3) Dado que el $|\varphi(x)|\leq K$ todos los $x\in\Delta$, luego $$ m_\Delta(|\varphi|)\leq M_\Delta(|\varphi|)\leq K $$

Lema. Deje $\varphi:[a,b]\to[c,d]$ ser una función con valores reales. Deje $\psi:[c,d]\to\mathbb{R}$ ser continuo no la disminución de la función. A continuación, para cualquier intervalo de $\Delta\subset[a,b]$ hemos
$M_\Delta(\psi\circ \varphi)=\psi(M_\Delta(\varphi))\qquad m_\Delta(\psi\circ\varphi)=\psi(m_\Delta(\varphi))\tag{4}$

Prueba. Para todos los $x\in\Delta$ tenemos $\varphi(x)\leq M_\Delta(\varphi)$. Desde $\psi$ no es una función decreciente, a continuación, para todos los $x\in\Delta$ obtenemos $\psi(\varphi(x))\leq\psi(M_\Delta(\varphi))$. Esto implica $$ M_\Delta(\psi\circ\varphi)\leq \psi(M_\Delta(\varphi))\etiqueta{***} $$ Fix $\varepsilon>0$. Desde $\psi$ es continua y no la disminución de no existir $\delta>0$ tal que $\psi(M_\Delta(\varphi))-\psi(t)<\varepsilon$ todos los $M_\Delta(\varphi)-\delta<t<M_\Delta(\varphi)$. Por otra parte, desde la definición de supremum podemos encontrar $\tilde{x}\in\Delta$ tal que $M_\Delta(\varphi)-\delta<\varphi(\tilde{x)}<M_\Delta(\varphi)$. Ahora nos fijamos $t=\varphi(x)$ para obtener $$ \psi(M_\Delta(\varphi))<\psi(\varphi(\tilde{x}))+\varepsilon\etiqueta{****} $$ Desde $\varepsilon>0$ es arbitrario de $(\,^{***})$ $(\,^{****})$ tenemos $$ M_\Delta(\psi\circ \varphi)=\psi(M_\Delta(\varphi)) $$ La prueba de la igualdad es similar.