¿Por qué $n^{\ln {\ln n}} = ({\ln n})^{\ln n}$?

Question

Nota: esta es (parte de mi solución a) una tarea de que se trate. Por favor, NO me digas la respuesta!

Estoy tratando de comparar las siguientes funciones:

$$n^{\ln {\ln n}} \qquad\qquad ({\ln n})^{\ln n}$$

Parece que son iguales (asumiendo $n > 1$), pero no tengo absolutamente ninguna idea de por qué este sería el caso.

Me estoy perdiendo algo realmente obvio y yo hemos estado golpeando mi cabeza en esto por alrededor de 45 minutos. Una sugerencia se agradece.

Answer 1

Tratar de poner los dos expresiones en la forma $e^{(\cdots)}$ y comparar.

Fórmula : $x^y = e^{y\ln(x)}$.

Answer 2

Tomar el logaritmo de ambas expresiones.

$\ln(x^y)=y\cdot\ln(x)\implies\ln(\ln(n))\cdot\ln(n)=\ln(n)\cdot\ln(\ln(n))$.

Answer 3

Utilizar la sustitución \begin{align} n&=\exp(t). \end{align}