Sin extensión a los números complejos?

Question

Los números complejos son en 2D. Es comúnmente situados resultado que no es 3D o 4D analógica de los números complejos.

Yo sólo quiero ser claro sobre exactamente lo que este resultado dice:

• Es imposible construir un 4D campo.

• Es imposible construir un 4D campo de los números complejos son un subconjunto de.

• Es imposible construir un 4D campo de los números reales son un subconjunto de.

• Algo más?

(También me gustaría saber por qué es cierto -, pero dado que yo no entendía la respuesta de la primera $2^7$ a veces, dudo que voy a entenderlo de este tiempo. :-} Oh, bueno...)

Answer 1

Es imposible tener un campo que es $n$ dimensiones de más de $\mathbb{R}$ cualquier $n\geq 3$. La razón por la que esto es cierto se reduce a las dos instrucciones siguientes.

1. Cualquier campo $K\supseteq \mathbb{R}$ que es finito dimensionales más de $\mathbb{R}$ es algebraico sobre $\mathbb{R}$.
2. Los números complejos son los algebraicas cierre de $\mathbb{R}$.

Así es $K\supseteq \mathbb{R}$ es un campo que es finito dimensionales más de $\mathbb{R}$, entonces es algebraico sobre $\mathbb{R}$, y, por tanto, está contenida en la clausura algebraica de $\mathbb{R}$, es decir, $K\subseteq \mathbb{C}$. Desde $\mathbb{C}$ tiene dimensión $2$$\mathbb{R}$, esto implica que $K$ tiene dimensión cualquiera de las $1$ o $2$$\mathbb{R}$. En el primer caso, $K = \mathbb{R}$, y en el segundo $K = \mathbb{C}$.

Answer 2

Desde $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, cada finito extensión de $\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$ sí. Los cuaterniones no son un campo porque no conmutativa; es lo que se llama una normativa de la división de álgebra. Hurwitz del teorema da una descripción completa de la posible normativa álgebras de división ( $\mathbb{R}$ ) - el son de los números reales, los números complejos, los cuaterniones o la octonions. Sólo los dos primeros son los campos, y sólo los tres primeros son asociativos.

La inexistencia de una imagen tridimensional real de la normativa de álgebra puede ser visto como una consecuencia de la bola peluda teorema. Si $\mathbb{R}^3$ podría ser dado una normativa de la división de álgebra de la estructura, la unidad de la esfera de $S^2$ podrían estar dotados de una suave estructura del grupo (los elementos de la norma $1$ formar un grupo). Pero el peludo bola teorema implica que no hay tal cosa, porque de lo contrario, dejando a un elemento infinitesimal del grupo actúan a la izquierda de la esfera, obtendremos un lugar de fuga, continuo campo de vectores en la esfera, lo cual es imposible por la peluda bola teorema.

Answer 3

El campo de funciones racionales es infinito-dimensional. Incluye el complejo y los números reales.

La misma es correcta sobre el campo de la analítica(holomorphic) funciones.