Mostrar que $1^7+7^7+13^7+19^7+23^7\equiv{0}\pmod{63}$

Question

Mostrar que $1^7+7^7+13^7+19^7+23^7\equiv{0}\pmod{63}$
De acuerdo con el teorema de Fermat:
$$1^7+7^7+13^7+19^7+23^7\equiv{1+7+13+19+23}\pmod{7}\equiv{63}\pmod{7}\equiv{0}\pmod{7}$$
Ahora tenemos que mostrar: $1^7+7^7+13^7+19^7+23^7\equiv{0}\pmod{9}$ , pero ¿cómo??

Answer 1

Como teorema de Fermat dice que $x^6\equiv1\pmod{7}$, el teorema de Euler (que generaliza de Fermat) nos dice que $x^6\equiv1\pmod{9}$ siempre $\gcd(x,9)=1$. De ello se sigue que $$1^7+7^7+13^7+19^7+23^7\equiv1+7+13+19+23\equiv0\pmod{9}.$$

Answer 2

Desde OP exige una prueba sin el teorema de Euler, a continuación se muestra un:
Primero se denota la suma como $S$ y el modulo $9:$
$$S\equiv1^7+(-2)^7+4^7+1^7+5^7\pmod9.$$
Desde $(-2)^3\equiv1\pmod9,$ nos encontramos con que $(-2)^7\equiv-2\pmod9,$, de modo que $$S\equiv4^7+5^7\pmod9.$$
Pero $5\equiv-4\pmod9,$ $$S\equiv4^7+(-4)^7\equiv0\pmod9.$ $

Espero que esto ayude.