Una de las razones por las que te interesa "único hasta el isomorfismo único" es que hace las cosas más "canónicas".
Consideremos, por ejemplo, el siguiente hecho cierto: cada $n$ -espacio vectorial de dimensiones sobre $\mathbb{R}$ es isomorfo a $\mathbb{R}^n$ .
Sin embargo, a excepción de $n=0$ el isomorfismo no es único ni "canónico": si yo me voy a casa y hago cálculos basados en mi isomorfismo favorito y te digo la respuesta, y tú te vas a casa y haces tus cálculos basados en su isomorfismo favorito, y luego volvemos mañana y describimos nuestros resultados, para traducir un resultado al "lenguaje del otro" tenemos que averiguar qué mi El isomorfismo favorito es, lo que su isomorfismo favorito es, y realizar las traducciones completas para comparar "mi" traducción en $\mathbb{R}^n$ con el tuyo y descubrir si ambos estamos en lo cierto.
Sin embargo, cuando hay un canónico elección del isomorfismo, entonces podemos simplemente ir a casa y traducir (a través de este isomorfismo único), y luego presentar los resultados al día siguiente. En debe coinciden, porque esencialmente sólo hay una manera de traducir.
(La canonicidad es muy útil; por ejemplo, ésa es una de las razones por las que, aún hablando de álgebra lineal, el isomorfismo en dimensión finita entre un espacio vectorial y su dual es mucho más importante que el isomorfismo entre un espacio vectorial y su dual. El primero es canónico, mientras que el segundo no lo es).
Desde el punto de vista de la teoría de categorías, la unicidad hasta el isomorfismo único permite derivar fácilmente propiedades funcionales, mientras que la mera isomorfía significa que se necesita mucha más contabilidad, y puede ser imposible enunciar una propiedad functorial "libre de coordenadas" (donde estoy pensando en "libre de coordenadas" de manera un tanto confusa para referirme a no tener que invocar isomorfismos específicos, elegidos arbitrariamente, para enunciarlos o demostrarlos).
