Probar: los contables producto de regular espacios topológicos es regular.

Question

Probar: los contables producto de regular espacios topológicos es regular.

La etiqueta de los contables producto de $X_i$$X$. Dado $x \in X$ $U$ un conjunto cerrado s.t. $ x \notin U$, vamos a encontrar distintos barrios de $x$$U$. Debido a $U$ es cerrado en $X$, es cerrado en cada una de las $X_i$ (etiqueta de estos conjuntos cerrados como $U_i$. También, cada coordenada de $x$ es distinto en cada una de las $U_i$, y de $X_i$'s de la regularidad, observamos que existen abiertos disjuntos barrios alrededor de $x$$U_i$$X_i$.

Si tomamos el producto de estos barrios conseguimos lo que queremos.

Es esto una prueba de la correcta? Soy nuevo en la idea de producto de espacios, así que no estoy muy seguro de lo que estoy haciendo.

Answer 1

La prueba no funciona. La razón principal es: es posible que $x \notin U$, mientras que, para todos los $i$, $x_i\in U_i$.

Aquí es una de las formas más sencillas para demostrar que el producto de regular espacios topológicos es regular. Tenga en cuenta que funciona para el caso general de espacio de los productos (finito, contables o incontables).

1. Tenga en cuenta que un espacio de $X$ es regular si y sólo si para todos los $x\in X$ y todos los conjuntos de $A$$X$, de tal manera que $x\in A$, existe un conjunto abierto $B$ y un conjunto cerrado $C$$X$, de tal manera que $x\in B\subseteq C \subseteq A$. (La prueba es directa)

2. Deje $X$ ser el producto de $X_\lambda$, donde, para cada $\lambda$, $X_\lambda$ es regular. Vamos a demostrar $X$ es regular. Deje $x\in X$ $A$ ser un conjunto abierto en $X$ (en el producto de la topología), de tal manera que $x \in A$. Entonces existe un conjunto abierto $D$, de tal manera que $$x\in D \subseteq A$$ Since $D$ is a basic open set, we know that $D=\prod_\lambda D_\lambda$ where for all $\lambda$, $D_\lambda$ is open and, except for a FINITE number of indexes, $D_\lambda=X_\lambda$. Vamos $$\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}=\{\lambda \,|\, D_\lambda \neq X_\lambda \}$$ Ya que para cada $\lambda_k \in \{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$, $X_{\lambda_k}$ es regular, y $x_{\lambda_k} \in D_{\lambda_k}$, existe un conjunto abierto $B_{\lambda_k}$ y un conjunto cerrado $C_{\lambda_k}$$X_{\lambda_k}$, de tal manera que $x_{\lambda_k}\in B_{\lambda_k}\subseteq C_{\lambda_k} \subseteq D_{\lambda_k}$. Ahora, vamos a $E$ ser el producto de abrir conjuntos tales que a $E_\lambda=X_\lambda$ si $\lambda \notin \{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$$E_{\lambda_k}=B_{\lambda_k}$$\lambda_k \in \{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$. En forma similar, deje $F$ ser el producto de conjuntos cerrados tales que $F_\lambda=X_\lambda$ si $\lambda \notin \{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$$F_{\lambda_k}=C_{\lambda_k}$$\lambda_k \in \{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$. Es un inmediatos que $E$ es un conjunto abierto en $X$, $F$ es un conjunto cerrado en $X$ y $$x\in E \subseteq F \subseteq D \subseteq A$$

Answer 2

Hay varios errores en tu prueba. Primero de todos, el conjunto de $U$ es un subconjunto de a $X$, no un subconjunto de a $X_i$. Este error también puede ser fijada teniendo en cuenta la proyección de $\pi_i(U)$ a $X_i$ $\pi_i(x)$ puede ser el interior de $\pi_i(U)$. Por ejemplo, considere un círculo en $\mathbb{R}^2$ y el origen.

También, supongo que desee considerar la topología producto sobre el producto de espacios. Sin embargo, el infinito producto de abrir conjuntos en general, no es abierto en la topología producto (véase también el Cuadro de la Topología).

Si quieres una sugerencia en cuanto a cómo demostrar la afirmación, echa un vistazo a esta respuesta en MO.