Ángulo entre dos parábolas

Question

Estoy un poco confundido con un problema que me pide encontrar el ángulo entre las dos parábolas $$y^2=2px-p^2$$ y $$y^2=p^2-2px$$ en su intersección. He utilizado la diferenciación implícita para encontrar las pendientes $$y'=\frac{-p}{y}$$ y $$y'=\frac{p}{y}$$ Utilizando la fórmula del ángulo entre dos líneas $\tan\alpha=|\frac{m_2-m_1}{1+m_2m_1}|$ con algunas sustituciones terminé con $\tan\alpha=|\frac{y}{x}|$ . Al establecer las dos ecuaciones iguales entre sí para encontrar el punto de intersección terminé con $x=0$ y $y=±p$ .

Sé que estos valores hacen que la tangente sea indefinida, ¿puedo deducir de este hecho que el ángulo entre estas parábolas es un ángulo recto? La solución dice que se intersecan en ángulos rectos, pero me confunde usar algo que es indefinido para formular mi respuesta, si es que resulta correcta. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Primero, encontremos el punto de intersección. Esto ocurre cuando

$$p^2-2px_0=2px_0-p^2\implies x_0=p/2\implies y=0$$

En el punto de intersección, $y=0$ y por lo tanto $yy'=\pm p$ implica que $y'$ es indefinido y por lo tanto la tangente a ambas parábolas es una línea vertical en la $x-y$ plano definido sea la ecuación $x=p/2$ .

Como las líneas tangentes son paralelas, el ángulo entre ellas es $0$ ¡y hemos terminado!

Answer 2

Obsérvese que tenemos $$y^2=2px -p^2$$$$ |implica 2y\frac{dy}{dx}=2p iff \frac{dy}{dx}=\frac{p}{y}=m_1$$

$$y^2=p^2-2px$$$$ \N - Implica que 2y{frac{dy}{dx}=-2p \N -iff \N -frac{dy}{dx}={frac{-p}{y}=m_2 $$ Now, the angle between the parabolas is given as $$ \tan \alpha=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right| $$ $$ =\left|\frac{\frac{p}{y}-\left(\frac{-p}{y}\right)}{1+\frac{p}{y}\left(\frac{-p}{y}\right)}\right| $$ $$ =\left|\frac{2py}{y^2-p^2}\right|$$

Al resolver las ecuaciones de las parábolas obtenemos el punto de intersección $\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ que se encuentra en el eje x.

Ahora, sustituyendo el valor de $y$ obtenemos el ángulo entre la curva en el punto de intersección $$\tan \alpha=\left|\frac{2p(0)}{(0)^2-p^2}\right|$$ $$=0 \iff \alpha=\tan^{-1}(0)=0$$ Así, el ángulo entre las parábolas dadas en el punto de intersección $\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ es $\alpha=0$ $$\bbox[5px, border: 2px solid #C0A000]{\color{red}{\alpha=0}}$$ En otras palabras, también podemos decir que las parábolas dadas: $y^2=2px-p^2$ & $y^2=p^2-2px$ se tocan en el punto $\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ .

Answer 3

Vale, vale, no dividamos por cero. Las ecuaciones paramétricas de estas curvas son $$ C1: \left(\frac{p^2 + y^2}{2p},\, y\right)\\ C2: \left(\frac{p^2 - y^2}{2p},\, y\right) $$ ( $p\ne 0$ está bien, ¿verdad? :) Los vectores tangentes son $$ C1: \left(\frac{y}{p},\, 1\right)\\ C2: \left(-\frac{y}{p},\, 1\right) $$ En el punto de intersección ( $y=0$ ) ambos son iguales a $(0,\, 1)$ y el ángulo es cero.