Intervalo de definición de las soluciones de $\dot x=e^x\sin x$

Question

Intento demostrar que las soluciones de esta EDO

$\dot x=e^x\sin x$

se definen en $\mathbb R$ .

Soy realmente nuevo en este tema, estoy tratando de usar el Teorema de Picard, pero esta función no es localmente Lipschitz, necesito ayuda aquí.

Answer 1

Dibuja un diagrama de fases:

• Si $x(0)=n\pi$ para algún número entero $n$ entonces $x(t)=n\pi$ por cada $t\geqslant0$ por lo que $x$ se define en $[0,\infty)$ .
• Si $x(0)=x_0$ con $2n\pi\lt x_0\lt(2n+2)\pi$ para algún número entero $n$ entonces $x(t)\to(2n+1)\pi$ cuando $t\to T$ , donde $[0,T)$ es el intervalo máximo "hacia adelante" de definición de la función $x$ . Además, $$ \int_{x_0}^{x(t)}\frac{\mathrm du}{\mathrm e^u\sin u}=t, $$ de ahí el hecho de que $T=+\infty$ es equivalente a la divergencia de la integral $$ \int^{(2n+1)\pi}\frac{\mathrm du}{\mathrm e^u\sin u}, $$ lo cual es obvio ya que $\mathrm e^u\to c\ne0$ y $\sin u\sim(2n+1)\pi-u$ cuando $u\to(2n+1)\pi$ .

El mismo argumento utilizado "al revés" muestra que $x$ se define en $\mathbb R$ .

Answer 2

Existencia local y singularidad

Como señaló Erick Wong en los comentarios, la función $e^x\sin x$ es continuamente diferenciable y, por tanto, localmente Lipschitz. Esto garantiza la existencia local y la unicidad de las soluciones.

Soluciones fijas

Algunas soluciones son estacionarias: $x\equiv \pi n$ , $n\in\mathbb Z$ . Toda solución no estacionaria comienza con un valor inicial $x(t_0)=x_0$ , donde $\pi n < x_0<\pi(n+1)$ para algunos $n\in\mathbb Z$ . Por unicidad, las curvas de solución no se cruzan: por lo tanto, $\pi n < x(t)<\pi(n+1)$ para todos los tiempos .

Uniformidad

Ahora que sabes que los valores de $x$ se mantienen dentro del intervalo $[\pi n,\pi(n+1)]$ se puede dar una estimación uniforme para $M$ y $L$ en la declaración del Teorema de Picard-Lindelöf . Por ejemplo, se puede tomar un intervalo mayor $I = [\pi n-1,\pi(n+1)+1]$ (para que tenga espacio para $b=1$ )*, y entonces deja que $M=\sup_I |e^x\sin x|$ y $L=\sup_{I}|(e^x\sin x)'|$ . El teorema da entonces $\epsilon>0$ (dependiendo sólo de $n$ ) tal que la solución del problema de valor inicial $x(t_0)=x_0$ con $\pi n < x_0<\pi(n+1)$ existe en el intervalo $(t_0-\epsilon, t_0+\epsilon)$ .

Existencia global

Ahora que tiene un fijo $\epsilon$ independiente de $t_0$ se puede aplicar el teorema de Picard-Lindelöf repetidamente para obtener la existencia global.

Nota:

Para tomar la suprema sobre un intervalo mayor que $[\pi n,\pi(n+1)]$ es matemáticamente innecesario: el comportamiento del lado derecho fuera de $[\pi n,\pi(n+1)]$ es irrelevante. Pero se necesitaría un esfuerzo para argumentar este punto, mientras que ampliar el intervalo no requiere ningún esfuerzo.

Answer 3

Parece que tienes problemas con esto. Voy a cambiar a un problema más fácil, $$ y' = \cos y. $$ Aquí la variable independiente es $x,$ para poder dibujar el resultado en $xy$ papel cuadriculado.

Ahora, hay líneas horizontales en $$y = \frac{- \pi}{2}, \; y = \frac{ \pi}{2}, \;y = \frac{3 \pi}{2}, $$ porque el coseno es cero allí y $y$ se mantiene constante.

Lo que cabe esperar es que las soluciones entre las constantes comiencen cerca de una línea y se acerquen a la otra. Y, efectivamente, para $ \frac{- \pi}{2} < y < \frac{ \pi}{2},$ cada solución se puede escribir $$ y = \arcsin \tanh (x + C), $$ para alguna constante $C.$ Dicha curva se asemeja a una $\arctan$ curva, y $y$ es exactamente cero cuando $x = -C.$

Para $ \frac{ \pi}{2} < y < \frac{3 \pi}{2},$ cada solución se puede escribir $$ y =\pi - \arcsin \tanh (x + C). $$ Aquí $y$ es exactamente $\pi$ cuando $x = -C.$ Además, estos se asemejan a una curva arctan invertida.

Este patrón continúa para $y$ en intervalos sucesivos de altura $\pi.$