Soberification de un espacio topológico

Question

En Johnstones Piedra Espacios, se introduce el concepto de soberification de un espacio topológico:

Deje $X$ ser un espacio topológico y $\Omega(X)$ el entramado de abrir los subconjuntos de a $X$, el soberification de $X$ $pt(\Omega(X))$ donde $pt(A)$ es el conjunto de elementos principales de la $A$, para cualquier conjunto $A$.

$pt(\Omega(X))$ es la de todos los principales primer abierto de conjuntos, es decir ,abrir los conjuntos cuyos complementos son irreducibles de conjuntos cerrados.

La función de $\psi: X \to pt(\Omega(X))$ envía un punto de $x\in X$$\overline{ \{ x\} }^c$.

$pt(\Omega(X))$ tiene la topología de subespacio de $Spec(\Omega(X))$.

Me gustaría probar que esta función es continua, y es inyective si y sólo si $X$$T_0$.

Para demostrar que $\psi$ es inyectiva si y sólo si $X$ $T_0$ es muy simple, debido a que $\psi(x)=\psi(y)$ fib $\overline{ \{ x\} }^c$=$\overline{ \{ y\} }^c$ iff $x, y$ están contenidas en exactamente la misma abierto conjuntos. Por eso, $\psi(x)=\psi(y)$ implica $x=y$ fib $X$$T_0$.

Así, la prueba de la continuidad de la izquierda. También me pregunto cuando esta función está en.

Cualquier ayuda o sugerencia es apreciado.

Edit: hasta ahora me las he arreglado para venir para arriba con una caracterización de $X$, de modo que $\psi$ es en:

$\psi$ es sobre si y sólo si para cualquier $x,y\in X$ tal que $y\notin\overline{\{x\}}$ tenemos $\overline{\{x,y\}}$ no está conectado.

Hay un nombre para este tipo de espacios?

Answer 1

La cosa más importante a tener en cuenta en el fin de demostrar que $\psi$ es continua, es el hecho de que se abre de $pt(\Omega(X))$ son definidos por la abre de $X$, es decir, la abre de $pt(\Omega(X))$ son precisamente los conjuntos de la forma $\phi(U) = \{V \in pt(\Omega(X)) \mid U$ no está contenido en $V\}$ donde $U \in \Omega(X)$ (ver la página de wikipedia en la Piedra de la dualidad). Tomar una apertura $\phi(U)$ - vamos a considerar $\psi^{-1}(\phi(U))$.

Sostiene que la $x \in \psi^{-1}(\phi(U))$ si y sólo si $\overline{\{x\}}^c \in \phi(U)$, por lo que si y sólo si $U$ no está contenido en $\overline{\{x\}}^c$. De ello se desprende que $U \subset \psi^{-1}(\phi(U))$, ya que el $x \notin \overline{\{x\}}^c$ todos los $x \in U$. Supongamos que $x \notin U$. A continuación,$x \in U^c$, lo $\overline{\{x\}} \subset U^c$$U \subset \overline{\{x\}}^c$, lo $x \notin \psi^{-1}(\phi(U))$. Por lo tanto $U = \psi^{-1}(\phi(U))$, lo que muestra que $\psi$ es continua.

La función de $\psi$ es sobre si y sólo si cada cerrados irreducibles subconjunto de $X$ es el cierre de un punto de $x \in X$. Esto es si $X$ es un esquema afín, por ejemplo. Yo era incapaz de precisar más al $\psi$ es sobre.