Luchando por resolver este problema. El profesor sugiere que busquemos $p^n$ como una de las factorizaciones primarias de $g$ (nota $p^{n+1}$ no divide $g$ ) y también el número de $p$ 's en $a, b, c,$ y $d$ respectivamente son exactamente $r, s, t, u$ . Su sugerencia es observar las desigualdades entre $n, r, s, t, u$ que se desprenden de las afirmaciones de divisibilidad.
Respuesta
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Jeff
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Supongamos que la mayor potencia de $p$ que divide $g$ es $k_g$ es decir, $p^{k_g}\mid g$ y $p^{k_g+1}\nmid g$ . Continuando, dejemos $k_a$ sea la mayor potencia de $p$ que divide $a$ , $k_b$ el más alto poder de $p$ que divide $b$ , $k_c$ el más alto poder de $p$ que divide $c$ y $k_d$ el más alto poder de $p$ que divide $d$ .
Desde $g\mid ab$ se deduce que $k_g\leq k_a+k_b$ . Del mismo modo, ya que $g\mid cd$ , $k_g\leq k_c+k_d$ . Consideramos algunos casos:
Supongamos que $p^{k_g}\mid ac$ . Entonces, como $g\mid ac+bd$ se deduce que $p^{k_g}\mid ac+bd$ así que $p^{k_g}\mid bd$ . Un caso similar se da si $p^{k_g}\mid bd$ .
Por otro lado, si $p^{k_g}\nmid ac$ y $p^{k_g}\nmid bd$ . Entonces, $k_g>k_a+k_c$ y $k_g>k_b+k_d$ . Combinando estas desigualdades, $2k_g>k_a+k_b+k_c+k_d$ . Por otro lado, a partir de las desigualdades originales, $2k_g\leq k_a+k_b+k_c+k_d$ , que es una contradicción, por lo que este caso es imposible.
Por lo tanto, $p^{k_g}\mid ac$ y $p^{k_g}\mid bd$ . Dado que la elección de $p$ es arbitraria, todo divisor primo de $g$ tiene esta propiedad. Por lo tanto, $g\mid ac$ y $g\mid bd$ .
