Dado que el $z=f(x,y)$ $a\in \mathbb{R}$ es una constante, que tengo que resolver la siguiente ecuación diferencial: $$ \frac{z \,dz+y \,dy}{y^2+z^2}=\frac{dx}{\sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2}+(x-a)}.$$ No he visto nada como esto antes, así que todas las ideas/sugerencias sería muy apreciada.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Vamos a reescribir la ecuación: $$\frac{z\,dz+y\,dy}{y^2+z^2}=\frac{dx}{\sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2}+(x-a)}.$$ $$\frac{d(y^2+z^2)}{y^2+z^2}=\frac{2dx}{\sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2}+(x-a)}.$$ Con el cambio de $y^2+z^2=t^2$$x-a=s$: $$\frac{2tdt}{t^2}=\frac{2ds}{\sqrt{s^2+t^2}+s}.$$ o $$\frac{\sqrt{s^2+t^2}+s}{t}dt=ds$$ Esta es una ecuación homogénea. Otro de sustitución de $s=ut$ nos da $$\frac{dt}{t}=\frac{du}{\sqrt{u^2+1}}$$ y llegamos a la conclusión de $\ln(t)=\sinh^{-1}(u)+C$. Ahora volvemos principales variables.
