Seno de los números naturales

Question

Por lo tanto, quiero demostrar que $$\sup_{n \in \Bbb N}{\sin (n)} = 1$$ Estaba pensando en demostrar que algún conjunto relacionado con $\pi$ es denso en $\Bbb R$ que implicará entonces que hay algún $n \in \Bbb N$ s.t. $\sin(n)$ es lo más parecido a $1$ como se desee. ( $\left( \frac m n \right) \times \pi\quad \forall m,n \in \Bbb N$ ?)

Answer 1

Los subgrupos aditivos de $\mathbb R$ son densos o reticulares (es decir, $x\mathbb Z$ para algunos $x$ ). Dado que $\pi$ es irracional, el subgrupo $\mathbb Z+2\pi\mathbb Z$ no es un entramado, por lo que es denso, en particular, para cada $\varepsilon\gt0$ existen algunos enteros $n$ y $m$ tal que $|n+2m\pi-\frac12\pi|\leqslant\varepsilon$ .

Si $n\geqslant0$ Esto da como resultado $\sin(n)\geqslant\cos(\varepsilon)$ . Si $n\lt0$ , tenga en cuenta que $|-3n-6m\pi+2\pi-\frac12\pi|\leqslant3\varepsilon$ por lo que $\sin(-3n)\geqslant\cos(3\varepsilon)$ con $-3n\geqslant0$ .

Desde $\varepsilon\gt0$ es arbitraria y $\cos(\varepsilon)\to1$ y $\cos(3\varepsilon)\to1$ cuando $\varepsilon\to0$ Esto demuestra el resultado.

Answer 2

Supongamos que no es el caso, es decir $1 > \sup_{n \in \Bbb N}{\sin (n)} = 1 - \epsilon$ para algunos $\epsilon > 0$ .

Dejemos que $\delta = \pi/2 - \arcsin(1 - \epsilon)$ . Entonces $|1 - \sin(n)| < \epsilon$ si $|n-(2\pi k + \pi/2)| < \delta$ para algunos $k\in \mathbb N$ lo que equivale a

$$|2\pi k - n| < \delta + \pi/2$$

Ahora se deduce de Teorema de aproximación de Dirichlet que siempre puedes encontrar $n,k$ de manera que se cumpla esta condición. ¡Contradicción!

Edición: En realidad, parece que debería haber una justificación elemental para el último paso, ya que ni siquiera necesitamos la estimación de la magnitud del teorema de Dirichlet, pero ahora mismo no se me ocurre ninguna.

Answer 3

Otra opción que utiliza el teorema de la equidistribución, aunque esto es una especie de mazazo dadas las otras respuestas: utilizar el hecho de que $1 / (2 \pi)$ es irracional, por lo que la secuencia $n / (2 \pi)$ para $n \in \mathbb{N}$ está equidistribuido módulo $1$ . Por lo tanto, $n / (2 \pi) \pmod{1}$ visita puntos arbitrariamente cercanos a $1/4$ como $n \to \infty$ Así que $n \pmod{2 \pi}$ visita puntos arbitrariamente cercanos a $\pi/2$ Así que $\sin{n}$ toma valores arbitrariamente cercanos a $1$ como $n \to \infty$ (por continuidad y periodicidad de $\sin$ ).