La conocida identidad trigonométrica
$$2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$$
da el uso de la ecuación diferencial (que no estoy seguro califica como una ODA, dado el factor en el argumento?)
$$2f(x)f'(x) = f(2x)$$
Suponiendo que uno no tenía idea de que $\sin(x)$ es una solución para esta ecuación, me preguntaba si había una manera de obtener la solución de todos modos.
Mi intento
Suponga que $f(x)$ tiene un poder de expansión de la serie válida para todos los valores de $x$ que nos interesa, que es
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$
para algunos coeficientes de $a_n$.
Conectar este en el que nos da
$$\sum_{n=0}^\infty 2^na_nx^n=2\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n\right) \tag1$$
Suponiendo que la convergencia absoluta, podemos reescribir el lado derecho de usar el producto de Cauchy de la fórmula:
\begin{align} \left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n\right)&=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n(k+1)a_{k+1}x^ka_{n-k}x^{n-k}\\ &=\sum_{n=0}^\infty x^n\sum_{k=0}^n(k+1)a_{k+1}a_{n-k} \end{align}
Conectando a $(1)$ y la comparación de los coeficientes de las potencias de $x$, obtenemos:
$$a_n=2^{1-n}\sum_{k=0}^n(k+1)a_{k+1}a_{n-k}$$
Sin embargo, no tengo idea de cómo proceder con esta relación de recurrencia para los coeficientes de la alimentación de la serie que estoy buscando.
Por lo tanto, mis dos preguntas son:
$1.$ Mi enfoque correcto y es allí una manera de resolver esta relación de recurrencia para la conocida coeficientes de el poder de expansión de la serie de $\sin(x)?$
$2.$ Existe un enfoque general que es tal vez menos engorroso problema de este tipo?
