Cómo resolver logaritmos anidados infinitamente

Question

Tengo un proceso iterativo que comienza con

$$x_1 = \log_{10}(a)$$

Las siguientes iteraciones son las siguientes:

$$x_2 = \log_{10}(a-b\cdot x_1)$$

$$x_3 = \log_{10}(a-b\cdot x_2)$$

$$x_4 = \log_{10}(a-b\cdot x_3)$$

$$\vdots$$

y así indefinidamente. (Supongamos $a$ y $b$ son conocidos y positivos)

Una vez que estos están anidados, se lee:

$$x = \log_{10}(a-b\cdot \log_{10}(a-b\cdot \log_{10}(a-b \cdot \ldots \log_{10}(a-b\cdot \log_{10}(a))\ldots)))$$

Esto parece bastante sencillo como para tener una solución más simple (no iterativa), pero en toda mi búsqueda no encuentro nada.

Se agradecería cualquier ayuda.

Gracias.

Answer 1

Echa un vistazo a la Teorema del punto fijo de Banach . En determinadas condiciones, esto lleva a que la solución sea: $$x=\log_{10}(a-bx)$$ Por supuesto, esto no se puede resolver analíticamente, sino con el uso de la función W de Lambert: $$x = \frac{a}{b} - \frac{1}{\log 10}\cdot W\left(\frac{10^{a/b} \log 10}{b}\right)$$

Answer 2

Si esta serie tiene solución, converge muy rápido:

$\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = \log_{10}(a-bx_n)$

Hay que encontrar la región exacta donde existe la solución( $a-bx_n>0$ para cada $n$ ) y después hay que resolver $x_n = \log_{10}(a-bx_n)$ que no parece tener una solución analítica sencilla.

Answer 3

Bueno, V-X se me adelantó. Pero un poco más de detalle, considere la función $f(x)=a-b\log_{10}x$ . Este mapa es una contracción. Hay un cierto dominio (demasiado perezoso para trabajar en los detalles), pero dentro de ese dominio, este mapa tiene un significado atractor no importa lo que usted comienza a adivinar $x_1$ es (dentro de su dominio de convergencia), la iteración $$x_{n+1}=f(x_n)$$ convergerán al mismo valor que es su único punto fijo. Este punto fijo es la solución de $$x=f(x)$$ que no tiene una buena solución analítica de forma cerrada. Pero si se permite el Función Lambert W donde $W$ es la solución principal de $$z=W(z)e^{W(z)}$$ entonces el punto fijo anterior puede escribirse como $$x=\frac{b\cdot W(\frac{10^{a/b}\cdot \log(10)}{b})}{\log(10)}.$$

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Adenda: jugando con ello numéricamente, parece que en el dominio, se obtiene un único punto fijo real. Fuera del dominio, sigues teniendo un punto fijo pero puede ser un número complejo.