Orden de un cero - $\frac{1}{e^z-1}$ - la Equivalencia entre los dos definiciones

Question

Tuve que clasificar a la singularidad (extraíble, polo y esencial) de $\displaystyle \frac{1}{e^z-1}$.

Sé que $e^z-1=0 \iff e^z=1 \iff z = 2\pi k i = z_k$ por cada $k \in \mathbb{Z}$. En el uso de lo que he encontrado, la solución de la libreta de explicar que como la derivada de la $e^z$ no se desvanezca en $z_k$, de modo que cada una de las $z_k$ son un simple polo, es decir,$\displaystyle \lim_{z\to i2n\pi}\frac{z-i2n\pi}{e^z-e^{i2n\pi}}=\left. \frac{1}{\frac {de^z}{dz}}\right|_{z=i2n\pi}=1$.

De acuerdo a Clasificar a la singularidad - $\frac{1}{e^z-1}$, Henry. W me explica que si $\displaystyle \lim_{z→z_0} \frac{f(z)}{g(z)}=1$ (aquí se $1$ es el orden de la singularidad; en general, debe ser diferente de$0$$\infty$) (es decir,$f \sim g$) mientras que $f(z_0)=0=g(z_0)$, las órdenes de sus ceros son los mismos. Por la definición de cero, $f−g$ tiene el cero de la misma orden en $z_0$.

He aquí la definición que yo sé : Vamos a $D \subset \mathbb{C}$ y un holomorphic función de $f : D \to \mathbb{C}$. La función admite un cero de orden $m \geq 1$ $z_0 \in D$ si la serie de Taylor es en la forma $\displaystyle f(z) = \sum_{k=m}^{\infty} a_k(z-z_0)^k$ $a_m \not= 0.$

Es que alguien me explicara en detalle la diferencia entre estos dos definición en el contexto del problema?

Gracias!

Answer 1

Si $f(z),g(z)$ ambos tienen ceros de orden $m$$z_0$, existe holomorphic funciones de $\phi,\psi$ en un barrio de $z_0$ tal que $\phi(z_0) \neq 0$, $\psi(z_0) \neq 0 $ y $f(z) = (z-z_0)^m \phi(z), g(z) = (z-z_0)^m \psi(z)$, y por lo tanto el límite $$ \lim_{z \a z_0} \frac{f(z)}{g(z)} = \lim_{z \a z_0} \frac{\phi(z) (z-z_0)^m}{\psi(z) (z-z_0)^m} = \frac{\phi(z_0)}{\psi(z_0)} \in \mathbb{C} \setminus \{0\} $$ Si las órdenes de sus ceros son diferentes, el supra $\to 0$(numer. orden mayor que denom.orden) o crece sin límites(denom. pedido de más de numer.orden)