Supongamos $R$ es un anillo finito y la única nilpotent elemento es cero. Demostrar que $$R\simeq F_{1}\times F_{2}\times \cdots\times F_{n}$$ where $F_{i}$ son los campos.
Debido a $R$ es finito es la izquierda artinian, a continuación, $J(R)$ es nilpotent ideal, y porque no es nilpotent elemento excepto el cero lo $J(R)={0}$, lo $R$ es semisimple y por Artin-teorema de Wedderburn tenemos: $$R\simeq M_{n_{1}}(D_{1})\times \cdots\times M_{n_{k}}(D_{k})$$ where $D_{i}$s are division rings. Now how I must show that $ M_{n_{i}}(D_{i})$ son campos?
