Una mejor aproximación de $H_n $

Question

Estoy convencido de que

$$H_n \approx\log(n+\gamma) +\gamma$$ es una mejor aproximación al $n$ -número armónico que el clásico $$H_n \approx \log(n) +\gamma$$ Especialmente para valores pequeños de $n$ . Dejo algunos valores y el error:

Para aclarar las cosas, calculo el valor entre dos números de la siguiente manera. Digamos que $n$ es el óptimo y $a$ es la aproximación, entonces $E = \frac{n-a}{n}$ . $L_1$ representa mi aproximación y $L_2$ para el clásico, y los errores $E_2$ y $E_1$ corresponden a cada uno de ellos (he mezclado los números).

Está claro que esto da una sobreestimación, pero tiende al valor real para los mayores $n$ .

Entonces, ¿hay alguna forma de demostrar que la aproximación es mejor?

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NOTA: He intentado utilizar el \begin {tabular} entorno pero nada parecía funcionar. ¿Algún enlace sobre la elaboración de tablas en este sitio?

Answer 1

En realidad, lo haces mejor aún con $ H_n \approx \gamma + \log \left( n + \frac{1}{2} \right),$ con $$ H_n = \gamma + \log \left( n + \frac{1}{2} \right) + O \left( \frac{1}{n^2} \right). $$ Como puedes ver en las otras respuestas, esto minimiza el error entre las aproximaciones del tipo $H_n \approx \gamma + \log \left( n + c \right)$ con una constante $c,$ borrando el $\frac{1}{n} $ término de error.

Una versión más completa de la asíntota anterior es simplemente

$$ H_n = \gamma + \log \left( n + \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{24 \left( n + \frac{1}{2} \right)^2} - \frac{7}{960 \left( n + \frac{1}{2} \right)^4} + \frac{31}{8064 \left( n + \frac{1}{2} \right)^6} - \frac{127}{30720 \left( n + \frac{1}{2} \right)^8} + O \left( \frac{1}{n^{10}} \right). $$

Answer 2

La expansión asintótica de los números armónicos $H_n$ viene dada por

$$\log n+\gamma+\frac{1}{2n}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right).$$

La expansión en serie de Maclaurin del logaritmo natural nos dice $\log(1+x)=x+\mathcal{O}(x^2)$ y podemos utilizarlo en su fórmula escribiendo $\log(n+\epsilon)=\log n+\log(1+\epsilon/n)$ y expandiéndose:

$$\log(n+\gamma)+\gamma=\log n+\gamma\;\;\;+\frac{\gamma}{n}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right).$$

Su aproximación es asintóticamente mejor que la genérica porque la $\gamma=0.577\dots$ en su expansión está más cerca del verdadero coeficiente $\frac{1}{2}$ que el coeficiente ilícito $0$ en la fórmula genérica dada por la habitual $H_n\sim \log n +\gamma+0/n$ . Esto también explica por qué es asintóticamente un en estimación.

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Como dijo Marty en su respuesta, la expansión viene de la Fórmula de Euler-Maclaurin :

$$\sum_{n=a}^b f(n)=\int_a^b f(x)dx+\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right).$$

Aquí dejamos que $a=1,b=n$ (reescribir el índice con una letra diferente) y $f(x)=1/x$ .

Answer 3

La verdadera aproximación, a partir de la fórmula de Euler-Maclaurin, es $$H_n = \ln n + \gamma + 1/2n + O(1/n^2).$$

Su expansión es $\ln (n+\gamma) + \gamma = \ln \ n + ln(1+\gamma/n)+\gamma = \ln \ n + \gamma + \gamma/n + O(1/n^2) $ .

Desde $\gamma = .577...$ su error es sobre $.077/n$ , que es mejor en .077/.5 ~ .154 ~ 1/6 lo que explica la tabla.

Veo que se acaba de publicar otra respuesta. Si difiere mucho de la mía, me sorprenderá.