Un hilo que he visto recientemente me ha llevado a pensar que esto no es una prueba válida del hecho de que para las matrices $A$ y $B$ , $AB=I\implies BA=I$ .
Supongamos que $AB=I$ . Entonces
$$A^{-1}AB=A^{-1}I$$
$$B=A^{-1}$$
$$BA=A^{-1}A$$
$$BA=I$$
¿qué paso está mal en esto? Supongo que $A$ tiene una inversa porque $\det A\det B=\det AB=\det I=1$ Así que $\det A\neq 0$ .
Si $A$ y $B$ son ambas matrices cuadradas de la misma dimensión, entonces tu prueba es ciertamente correcta. Sin embargo, $AB=I\not\Longrightarrow BA=I$ cuando $B$ y $A$ no son cuadrados, y su paso de $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ es erróneo ya que $\det(A)$ y $\det(B)$ no están definidos para matrices no cuadradas. En general, para una matriz no cuadrada existen los denominados inviernos izquierdo y derecho, que pueden no ser idénticos para una matriz determinada.
Por ejemplo, dejemos que $$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\0&1\end{pmatrix}$$ Puede comprobar $AB=I_\text{2x2}$ pero $BA\neq I_\text{3x3}$
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¿Qué le lleva a creer que esto no es válido? He visto exactamente esta prueba en el texto de Álgebra Lineal de Schaum.
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math.stackexchange.com/questions/3852/if-ab-i-then-ba-i Es correcto ya que la existencia de una inversa izquierda de una matriz cuadrada se deduce de la existencia de una inversa derecha.
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¿Cómo sabes que $A$ ¿tiene un inverso? Una vez que lo haces, entonces por supuesto $B$ es. Pero el problema es empezar con $AB=I$ , sin saber que $A$ tiene una inversa, y concluye $BA=I$ . Y de esto se deduce que $B$ es la inversa de $A$ .
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¿Estás asumiendo que $A$ , $B$ y $I$ son todos $n\times n$ ¿matrices? Si eso no se asume, tu afirmación es falsa y la prueba no es válida ya que algunos de los productos serán indefinidos. ¿Es eso lo que quieres decir?
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Seguro que está asumiendo que son cuadrados. Si no, esto habría sido obviamente defectuoso para cualquiera.
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La pregunta en la que creo que podría estar pensando ( este ) pide pruebas en las que se imponen algunas restricciones (es decir, si no se conocen los inversos).
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@HasanSaad ¿eso es lo que se está demostrando aquí? Y a los demás, sí estoy asumiendo que son cuadrados y de la misma dimensión.
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También, gracias @Winther que ayuda
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La primera igualdad puede ser incorrecta. No hay ninguna suposición de que $A^{-1}$ existe
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@sleevechen Para una matriz cuadrada, la existencia de una inversa derecha implica la existencia de una izquierda. En cuanto a OP, la prueba aquí es que si $AB=I$ entonces $BA=I$ y esta prueba es completamente válida. Sin embargo, esta "prueba" pierde la esencia del tema, que consiste en demostrar la existencia de $A^{-1}$ primero. Si se demostró antes, entonces esta prueba es perfectamente válida.