Dos módulos son isomorfos en el establo en la categoría de módulo iff son projectively equivalente

Question

Deje $R$ ser (no necesariamente conmutativo) del anillo. Deje ${\text{mod-}R}$ ser la categoría de finitely generado derecho $R$-módulos. Deje $\underline{\text{mod-}R}$ ser la estable la categoría de módulo, con los mismos objetos como ${\text{mod-}R}$ y morfismos dado por $\text{Hom}_R(M,N)/ \hspace{-3pt} \sim$ donde $f \sim g$ fib $f-g$ factores a través de un módulo proyectivo.

Decimos que dos $R$-módulos de $M,N$ son projectively equivalente iff existen finitely generado módulos proyectivos $P,Q$$M \oplus P \cong N \oplus Q$${\text{mod-}R}$.

Estoy tratando de probar lo siguiente:

Deje $M,N$ ser finitely generadas $R$-módulos. A continuación, $M$ $N$ son isomorfos en el establo en la categoría de módulo iff son projectively equivalente.

Sé que esto es cierto, pero quiero probarlo mediante la construcción de mapas específicos. Hasta ahora sólo he intentado adelante implicación. Así que supongo que $M$ $N$ son isomorfos en el establo en la categoría de módulo, por lo que no existe $f : M \to N$ $g: N \to M$ con \begin{gather*} gf - \text{id}_M = \phi : M \xrightarrow{\phi_1} P \xrightarrow{\phi_2} M \\ fg - \text{id}_N = \psi : N \xrightarrow{\psi_1} Q \xrightarrow{\psi_2} N. \end{reunir*} A continuación, deseo para la construcción de mapas $\theta:M \oplus P \to N \oplus Q$ $\lambda:N \oplus Q \to M \oplus P$ (o tal vez los mapas debe ir entre $M \oplus Q$$N \oplus P$...?) que son mutua recíproca. Sin embargo, jugando con estos mapas no me llevó a ninguna parte. De hecho, uno de los principales problema es que yo no puedo ver cómo iba a ser obtener la identidad en el segundo componente de la $\lambda \theta$, y sospecho que en realidad necesitamos para construir algunos de los nuevos mapas de uso de la projectivity de $P$$Q$.

Cualquier idea sobre cómo proceder?

Answer 1

Su método no va a funcionar a menos que usted tiene cuidado acerca de la elección de los módulos proyectivos $P$ $Q$ a través de la cual $gf-\text{id}_M$ $fg-\text{id}_N$ factor. De hecho, usted podría sustituir a $P$ $P\oplus P'$ para cualquier módulo proyectivo $P'$, cambiando el isomorfismo tipo de $M\oplus P$.

En su lugar, utilice el hecho de que $gf-\text{id}_M$ factor a través de un proyectiva $P$ para la construcción de mapas $M\stackrel{f'}{\to}N\oplus P\stackrel{g'}{\to}M$ tal que $g'f'=\text{id}_M$ $f'g'-\text{id}_{N\oplus P}$ factores a través de un proyectiva, por lo que el $M\oplus\operatorname{ker}(g')\cong N\oplus P$, y luego (con el hecho de que $f'g'-\text{id}_{N\oplus P}$ factores a través de un proyectiva) que $\operatorname{ker}(g')$ es proyectiva.