Estamos casi en el año 2017. Me pregunto ¿cuántos pares de enteros soluciones tiene la siguiente ecuación diophantine:
$$x^2 + y^2 = (2017)^3$$
Gracias de antemano.
Respuestas
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Noble Mushtak
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701
Sin pérdida de generalidad, supongamos $x < y$. Por lo tanto, $2x^2 < x^2+y^2=2017^3$, lo $x < \sqrt{\frac{2017^3}{2}} < 64054$. Por lo tanto, sólo la comprobación de todos los enteros $x$$x=0$$x=64053$. Aquí está el código de Python para este problema y el programa de salida.
>>> from math import sqrt
... for x in range(64054):
... y = int(sqrt(2017**3-x**2))
... if x*x*+y*y == 2017**3: print(x, y)
18153 88748
51543 74492
Por lo tanto, tenemos: $$(x, y) \in \{(\pm 18153,\pm 88748), (\pm 51543,\pm 74492), (\pm 74492,\pm 51543), (\pm 88748,\pm 18153)\}$$
Calconym
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134
Noble Mushtak la solución es una forma rápida de solucionar este problema por completo el uso de una computadora. Lo que voy a tratar de presentar aquí es un método para encontrar una solución que se puede hacer un poco más sencilla.
Sabemos que $2017$ es un número primo. Por lo tanto, la factorización de $2017^3$ es sólo eso: $2017^3$.
Por el teorema de Fermat en dos cuadros, $2017$ es expresable como la suma de dos cuadrados, desde la $2017\equiv 1 (\operatorname{mod} 4)$. Esto puede ser hecho a mano de manera relativamente sencilla: la única solución a $a^2+b^2=2017$, excluyendo trivial rearrangments, es:
$9^2+44^2=2017$.
Considere la posibilidad de $(2017\cdot 9)^2+(2017\cdot 44)^2$. Podemos factor $2017^2$, por lo que este da
$2017^2(9^2+44^2)$,
y conociendo el valor de la suma de los cuadrados, esto es sólo
$2017^3$.
Por lo tanto, hemos encontró rápidamente una solución
$(2017\cdot 9)^2+(2017\cdot 44)^2=2017^3$,
en correspondencia con una de las soluciones de los programas de dio.
Hay otros primitivo soluciones de esta ecuación; este método no puede renunciar a ellas, pero es una forma rápida de resolver el problema de la mano. Una consecuencia de esto es que, dado cualquier entero $n$ tal que existe una Diophantine solución a
$a^2+b^2=n$,
$n^3$ puede ser descompuesto así (y en un lugar fácilmente construibles manera).
justartem
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13
El endeudamiento de esta respuesta aquí
La respuesta es solo $\frac{3+1}{2}=2$. ( o $4$ si el orden importa).
Lo he comprobado con este código:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long lli;
lli N=2017;
int isq(lli N){
lli s=sqrt(N);
if(s*s==N) return(1);
return(0);
}
int main(){
N=N*N*N;
int res=0;
for(lli i=0;i*i<N;i++){
if(isq(N-i*i) ) res++;
}
printf("%d\n",res);
}
Meltemi
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1730
Para referencia en el futuro, si usted acaba de entrar
m^2 + n^2 = (2017)^3
en Mathematica (o WolframAlpha), a continuación, devuelve todo entero soluciones:
CompComp
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29
Quiero compartir con todos los que acabo de encontrar un método algebraico para calcular primitivas de triples en mi caso específico de elevar a la tercera potencia:
$$[x(x^2-3y^2)]^2+[y(3x^2-y^2)]^2=n^3$$
No sé por qué, pero los especialistas de los sitios de internet no es frecuente.
Feliz año nuevo para todos.
