La prueba tal y como está no funciona. Su definición de la $\mathcal{F}_i$ para el filtro de $\mathcal{F}$ (ligeramente notación diferente, prefiero las letras del alfabeto para las familias de subconjuntos) está bien, pero su prueba de lo $x$ debe ser en $\cap \mathcal{F}$ no funciona.
Si $x$ no está en la intersección de todos los miembros de $\mathcal{F}$ sabemos que hay algunos miembros de la $F_0$ $\mathcal{F}$ tal que $x \notin F_0$, lo $x \in X \setminus F_0$, el último conjunto de llamar a $S$.
Así que para todos los $i$, $x_i \in \pi_i[X \setminus F_0]$. Pero, a continuación, $x_i$ también podría ser en $\pi_i[F_0]$, según las proyecciones no son inyecciones (lejos de ella) no podemos decir $\pi^{-1}\pi[S] \subset S$, esto sólo funciona para las funciones inyectiva $\pi$. Así, en el paso de la prueba se rompe.
La prueba usual para el teorema de Tychonoff no uso ultrafilters de conjuntos cerrados, pero sólo ultrafilters en el powerset, y muy extenso reportaje (con todos los preliminares) a Yuan del blog. Utiliza la conveniencia de que cuando tenemos ultrafilters, sus imágenes (el conjunto de imágenes de los miembros de la ultrafilter) es en sí mismo una ultrafilter, y los usos de los límites en los espacios de coordenadas.
Engelking de la prueba (teorema 3.2.4 en mi edición) comienza con una familia de conjuntos cerrados con fip y comienza por extender a un máximo de uno. En otras palabras, él toma un ultrafilter así, y pudimos ver como uno en el entramado de conjuntos cerrados. Luego pasa a mostrar que para una fija $i$, $\left\{ \overline{\pi_i[F]} : F \in \mathcal{F} \right\}$, al $\mathcal{F}$ es una ultrafilter, es una familia de conjuntos cerrados en $X_i$ que tiene la intersección finita de la propiedad y por lo que tiene un punto en la intersección. Este enfoque también sería obra en su conjunto, creo.
Añadido en respuesta a los comentarios
En realidad, lo que Engelking hace es un poco más inteligente: se va fuera de la esfera de ultrafilters en conjuntos cerrados. Comienza con una familia de conjuntos cerrados $\mathcal{C}$ $X$ con la intersección finita de la propiedad (FIP), y se extiende a una familia $\mathcal{F}$ de arbitraria de subconjuntos de a $X$ (que contiene a $\mathcal{C}$) y es maximal con respecto a la inclusión, con su favorito principio del máximo (Tukey lema o el lema de Zorn). Este es, por supuesto, sólo el ultrafilter en $X$ generado por $\mathcal{C}$, aunque él no lo llama. Él menciona 2 hechos fundamentales que se derivan de la maximality:
(1) $\mathcal{F}$ es cerrado bajo intersecciones finitas (se puede añadir todas las intersecciones finitas de los miembros de $\mathcal{F}$ y no puede obtener un conjunto más grande).
(2) Si un conjunto $A$ cruza todos los miembros de $\mathcal{F}$,$A \in \mathcal{F}$. (El mismo argumento, como podemos agregar $A$ $\mathcal{F}$y aún así tener una familia con la FIP, así que por maximality, $A \in \mathcal{F}$.)
Ahora se define el avance de imágenes $\mathcal{F}_i = \{\overline{\pi_i[F]}: F \in \mathcal{F} \}$, y estas familias tienen la FIP y consisten en conjuntos cerrados, por la compacidad de cada una de las $X_i$ tenemos un punto de $x_i \in \cap \mathcal{F}_i$.
Ahora vamos a utilizar que hemos construido $\mathcal{F}$ tener arbitrarias de miembros: la demanda es que para cualquier conjunto abierto $O \subset X_i$ que contiene $x_i$, $\pi^{-1}[O] \in \mathcal{F}$. Esto se deduce que para cualquier $F \in \mathcal{F}$, $x_i \in \overline{\pi_i[F]}$, por lo $O \cap \pi_i[F] \neq \emptyset$, lo que implica que $\pi_i^{-1}[O] \cap F \neq \emptyset$ (cualquier $p \in F$, $\pi_i(p) \in O$ es testigo de ello). Por lo $\pi_i^{-1}[O]$ cruza a todos los miembros de sof $\mathcal{F}$, por lo que por (2), $\pi_i^{-1}[O] \in \mathcal{F}$.
Y como cualquier abierto básicos barrio de $x = (x_i)_{i \in I}$ es de la forma $\pi_{i_1}^{-1}[O_{i_1}] \cap \ldots \cap \pi_{i_k}^{-1}[O_{i_k}]$ para algunos finito $k$, y abrir conjuntos de $O_{i_j} \subset X_{i_j}$ que contengan $x_{i_j}$, por (1), básica de todos los barrios de $x$$\mathcal{F}$, y, en particular, (!) ellos no tienen intersección vacía con todos los miembros de la original $\mathcal{C}$. Pero este dice que $x \in \cap \{\overline{C} : C \in \mathcal{C} \} = \cap \mathcal{C}$, ya que estos conjuntos son cerrados. Así que una familia de conjuntos cerrados con la FIP en $X$ no tiene intersección vacía y por lo $X$ es compacto.
No acabo de ver cómo esta la prueba en el trabajo si nos limitamos a considerar (ultra)filtros de conjuntos cerrados. Podemos definir el $\mathcal{F}_i$ por el mismo camino o podríamos definir como su $\mathcal{F'}_i = \{ F \subset X_i : F \mbox{ closed }, \pi_i^{-1}[F] \in \mathcal{F} \}$. De nuevo por la FIP recibimos el $x_i$, para cualquiera de los casos, pero entonces, ¿cómo proceder?
Podemos comenzar por tomar un arbitrario básicos de vecindad $\pi_{i_1}^{-1}[O_{i_1}] \cap \ldots \cap \pi_{i_k}^{-1}[O_{i_k}]$$x$, y algunos fijos $F \in \mathcal{F}$, tratando de mostrar ex te cruza tha último, por lo $x$ es el cierre de todos los $F$. El uso de la $\mathcal{F}_i$ I definido anteriormente, encontramos de nuevo que $O_{i_j} \cap \pi_{i_j}[F]$ no está vacía y por lo $\pi_{i_j}^{-1}[O_{i_j}] \cap F$ no está vacía. Y esto lo sabemos por separado para cada $j$$\{1,\ldots k\}$, pero no nos da un punto en el conjunto abierto todavía! Y no podemos usar las intersecciones finitas como lo hicimos anteriormente, como la inversa de imágenes de abrir los juegos no se en $\mathcal{F}$ cuando se restringen a los filtros de conjuntos cerrados. De modo que la prueba de ordenación de las paradas de aquí, creo que, sin entrar en mayores complicaciones. Y si usamos el $\mathcal{F'}_i$ no veo una mejora. Empezamos con $F \in \mathcal{F}$, tratando de mostrar a $x \in \overline{F}$ como antes, ¿cómo hacer que el uso de la $\mathcal{F'}_i$ ahora? Estoy abierto a sugerencias..
Mi conclusión sigue siendo que permitir arbitraria de conjuntos (por lo general ultrafilters) conduce a una mejor, "fluir" de la prueba, mientras que la restricción a ultrafilters de conjuntos cerrados, nos topamos con algunos inconvenientes técnicos.
