La generalización de $(-1)^{n}$ mediante $k$th-nivel figurate números

Question

Un tipo de figurate números , a partir del con $\color{blue}{n=1}$, $$P_1(n) = n = 1, 2, 3, 4, 5,\dots$$ $$P_2(n) = \tfrac{n(n+1)}{2!} = 1, 3, 6, 10, 15,\dots$$ $$P_3(n) = \tfrac{n(n+1)(n+2)}{3!} = 1, 4, 10, 20, 35,\dots$$ $$P_4(n) = \tfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4!} =1, 5, 15, 35, 70,\dots$$ es decir, la lineal, triangular, tetraédrica, pentatope, etc.

El uso de $(-1)^n$ para generar una corriente alterna de la serie es bien conocido. Pero, ¿y si vamos a reemplazar el exponente de $(-1)^n$ con mayor figurate números de $P_k(n)$?

De este modo se obtienen las secuencias, $$\begin{aligned} S_1(n) &=-(-1)^{P_1(n)} = \color{blue}{1,-1},1,-1,\dots\\ S_2(n) &= -(-1)^{P_2(n)}= \color{blue}{1, 1, -1, -1}, 1, 1, -1, -1,\dots\\ S_3(n) &= -(-1)^{P_3(n)}= \color{blue}{1, -1, -1, -1}, 1, -1, -1, -1,\dots\\ S_4(n) &= -(-1)^{P_4(n)}= \color{blue}{1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1},\dots \end{aligned}$$

y así sucesivamente. Los períodos de $\omega_k$ $k=1,2,3,\dots8$ $\omega_k = 2, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16.$

Q: ¿Cómo podemos expresar el período de $\omega_k$ como una función de la $k$?

P. S. Este fue inspirado por este post.

Answer 1

Un comentario en lugar de una respuesta, pero demasiado largo para el "comentario"-formato de -

Yo entiendo las cosas que el problema es el de la paridad de la binomial-coeficientes; que los coeficientes son a lo largo de las columnas en la parte inferior triangular Pascal de la matriz P, de modo que las columnas, expresada por $P \pmod 2$ debe dar el patrón de los signos en su pregunta.
Aquí está una "gráfica" de la expresión de los patrones; las columnas se leen hacia abajo comenzando en la diagonal. El "1" dar el signo $(-1)^1=-1$, los puntos de las posiciones de las $(-1) ^0=1$ :

  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  .  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  1  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  .  .  .  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  1  .  .  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  .  1  .  1  .  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  1  1  1  1  1  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  .  .  .  .  .  .  .  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  1  .  .  .  .  .  .  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  .  1  .  .  .  .  .  1  .  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  1  1  1  .  .  .  .  1  1  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  .  .  .  1  .  .  .  1  .  .  .  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  1  .  .  1  1  .  .  1  1  .  .  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  .  1  .  1  .  1  .  1  .  1  .  1  .  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  .  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  1  .  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  1  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  1  1  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  .  .  .  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  1  .  .  .  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  1  .  .  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  1  1  .  .  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  .  1  .  1  .  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  1  .  1  .  1  .  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  1  1  1  1  1  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .  1  1  1  1  1  1  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .
  1  .  .  .  .  .  .  .  1  .  .  .  .  .  .  .  1  .  .  .  .  .  .  .  1  .  .  .  .  .  .  .
  1  1  .  .  .  .  .  .  1  1  .  .  .  .  .  .  1  1  .  .  .  .  .  .  1  1  .  .  .  .  .  .
  1  .  1  .  .  .  .  .  1  .  1  .  .  .  .  .  1  .  1  .  .  .  .  .  1  .  1  .  .  .  .  .
  1  1  1  1  .  .  .  .  1  1  1  1  .  .  .  .  1  1  1  1  .  .  .  .  1  1  1  1  .  .  .  .
  1  .  .  .  1  .  .  .  1  .  .  .  1  .  .  .  1  .  .  .  1  .  .  .  1  .  .  .  1  .  .  .
  1  1  .  .  1  1  .  .  1  1  .  .  1  1  .  .  1  1  .  .  1  1  .  .  1  1  .  .  1  1  .  .
  1  .  1  .  1  .  1  .  1  .  1  .  1  .  1  .  1  .  1  .  1  .  1  .  1  .  1  .  1  .  1  .
  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1

La primera columna de la siguiente secuencia: -1,-1,-1,-1,... ; th segundo -1,1,-1,1,... , la tercera -1,-1,+1,+1,... y así sucesivamente, lo que confirma el $2^k$ - blockwise longitud de la periodicidad con la que ya se ha encontrado. Por supuesto, este modelo es bien conocida y ha sido explorado en la extrema broadth y ancho; voy a ver si puedo encontrar alguna manera bien conocida de la prueba en línea ...