Seis cartas que se dibujan con el reemplazo de la forma ordinaria de la cubierta. ¿Cuál es la probabilty que cada uno de los cuatro trajes estarán representados al menos una vez entre las seis cartas?
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JeremyWeir
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Tener en cuenta los distintos casos:
1 traje
$$
\begin{align*}
P(\text{Only } \clubsuit \text{ suit is drawn}) &= \begin{pmatrix}\frac{1}{4}\end{pmatrix}^6\\
P(\text{Solo } \heartsuit \text{ traje es dibujado}) &= \begin{pmatrix}\frac{1}{4}\end{pmatrix}^6\\
P(\text{Solo } \spadesuit \text{ traje es dibujado}) &= \begin{pmatrix}\frac{1}{4}\end{pmatrix}^6\\
P(\text{Solo } \diamondsuit \text{ traje es dibujado}) &= \begin{pmatrix}\frac{1}{4}\end{pmatrix}^6
\end{align*}
$$
De modo que 4 de los casos.
2 trajes
$$
\begin{align*}
P(\text{Only } \clubsuit \text { AND } \heartsuit \text{ suit is drawn}) &= \begin{pmatrix}\frac{2}{4}\end{pmatrix}^6 - 2\times \begin{pmatrix}\frac{1}{4}\end{pmatrix}^6\\
&.\\&.\\&.\\
\end{align*}
$$
La idea aquí es la de EXCLUIR los casos donde sólo se $\clubsuit$ o $\heartsuit$ son elegidos. El residual de la probabilidad es la probabilidad de que una combinación de ambos $\clubsuit$ $\heartsuit$
Usted se dará cuenta de que hay ${4 \choose 2} = 6$ de los casos ie
$$ (\clubsuit,\heartsuit) (\clubsuit,\spadesuit) (\clubsuit,\diamondsuit) \\ (\heartsuit,\spadesuit) (\heartsuit,\diamondsuit) (\spadesuit,\diamondsuit) $$
Para hacer su multiplicación en consecuencia.
3 trajes de $$ \begin{align*} P(\text{Only } \clubsuit \text { AND } \heartsuit { AND } \spadesuit \text{ suit is drawn}) &= \begin{pmatrix}\frac{3}{4}\end{pmatrix}^6 - 3\times\begin{pmatrix}\frac{2}{4}\end{pmatrix}^6 - 3\times \begin{pmatrix}\frac{1}{4}\end{pmatrix}^6\\ &.\\&.\\&.\\ \end{align*} $$
De manera similar a 2 palos, la idea es excluir el caso de que sólo 2 trajes son seleccionados, y sólo el 1 traje es seleccionado. Hay $3$ maneras que sólo el 2 trajes son seleccionados y $3$ formas que sólo 1 traje puede ser seleccionado.
Hay 4 casos, es decir, $$ (\clubsuit,\heartsuit, \spadesuit) (\heartsuit, \spadesuit, \diamondsuit) \\ (\spadesuit,\diamondsuit, \clubsuit) (\diamondsuit,\clubsuit, \heartsuit) $$
Para hacer la adición, y tomar cumplido. $$ \begin{align*} \text{Req. Probability} &= 1\\&- 4\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{4}\end{pmatrix}^6\end{bmatrix}\\&- 6\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}\frac{2}{4}\end{pmatrix}^6 - 2\times \begin{pmatrix}\frac{1}{4}\end{pmatrix}^6\end{bmatrix}\\&- 4\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{4}\end{pmatrix}^6 - 3\times\begin{pmatrix}\frac{2}{4}\end{pmatrix}^6 + 3\times \begin{pmatrix}\frac{1}{4}\end{pmatrix}^6\end{bmatrix} \end{align*} $$
user8269
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Esto se puede hacer por medio de la inclusión-exclusión.
La probabilidad de que en la mayoría de los tres palos están representados, es $$4\times\left({3\over4}\right)^6$$ because there are $4$ ways to pick three suits and then $3/4$ posibilidad de cualquier tarjeta es de uno de los tres palos.
Probabilidad de que en la mayoría de los dos juegos es $$6\times\left({1\over2}\right)^6$$ and probability of at most one suit is $$4\times\left({1\over4}\right)^6$$
Ahora, ¿sabes cómo combinar estos elementos para obtener la respuesta que usted está después?
La probabilidad de que en la mayoría de los 3 trajes están representados, es, paradójicamente, dado que en tal situación mediante la aplicación de la inclusión-exclusión, a saber.
4*0.75^6 - 6*0.5^6 + 4*0.25^6 = 0.6191
y el indicado probabilidad es así
1 - 0.6191 = 0.3809
Vea la pregunta "de la no-rutina de solicitud de inclusión-exclusión" para una discusión completa de esta aparente paradoja
