No, esta generalización de los cuadrados latinos tiene un nombre?

Question

Estoy interesado en mirar a $n\times n$ cuadros (o matrices) en el que (WLOG) cada entero en $\{ 1, 2, \ldots, n \}$ se produce exactamente $n$ veces. Esta es una generalización de una latina (o incluso semi-latina) el cuadrado, el cual, obviamente, tiene esta propiedad. Esto es una generalización, ya que hay tableaux con esta propiedad que no son semi-latina, tales como $$\left[\begin{matrix} 1&2&2\\3&1&3\\3&1&2\end{matrix}\right].$$ I have counted the number of such tableaux, up to a suitable (for my applications) notion of isomorphism for $n = 2,3,4$, and there are lots of them. There are $5$ with $n = 2$; $305$ with $n = 3$; and $2630904$, with $n = 4$. Como estos generalizar los cuadrados latinos, parece que éste es el tipo de cosa que la gente en la combinatoria de la comunidad que podría haber investigado. Han dicho de cuadros sido estudiado antes? ¿Tiene un nombre? (Si estos tienen un nombre, yo podría hacer mejor con Google). Muchas gracias.

EDIT: Para el $2\times 2$ de los casos, hay $6 = {4\choose 2}$ plazas, ya que podemos elegir dos de las cuatro de la matriz de posiciones en el que colocar un $1$, y luego los otros dos puntos que debe contener un $2$. Estos son: $$\left\{ \left[\begin{matrix}1&1\\2&2\end{de la matriz}\right], \left[\begin{matrix}1&2\\1&2\end{de la matriz}\right], \left[\begin{matrix}1&2\\2&1\end{de la matriz}\right], \left[\begin{matrix}2&1\\1&2\end{de la matriz}\right], \left[\begin{matrix}2&1\\2&1\end{de la matriz}\right], \left[\begin{matrix}2&2\\1&1\end{de la matriz}\right]\right\}.$$ Ahora, de estos, sólo el par $\left[\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right]$ $\left[\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right]$ son equivalentes.

La noción de equivalencia o isomorfismo utilizado es este. Dos de los $n\times n$ matrices $(a_{i,j})$ $(b_{i,j})$ como en el anterior, son considerados como esencialmente la misma si no es una permutación $\sigma\in S_{n}$ que $\sigma( a_{i,j} ) = b_{\sigma i, \sigma j}$, para todos los $i$$j$.

Answer 1

Estos son los llamados "equi-n-cuadrados".

Answer 2

Antes de su isomorfismo, el tableau de la representación no es importante y puede verlo como una lista. Como tal, usted puede recoger $n$ de la $n^2$ posiciones para $1$, $n$ del resto de las $n^2-n$ $2$ y así sucesivamente. Se convierte en $$\binom {n^2}n \binom{n^2-n}n \binom {n^2-2n}n \ldots \binom nn$$ I didn't find 2630904 in OEIS. Without the isomorphism it is $\frac{(n^2)!}{(n!)^n}$, que es A034841.

Answer 3

Courtiel y Vaughan, Gerechte diseños con otras regiones, JCD (2012) llama un gerechte marco.

Un gerechte marco es una partición de un $n \times n$ matriz en $n$ regiones de $n$ células cada uno.

Esta definición proviene de una gerechte de diseño, que es un cuadrado latino junto con las entradas divide en grupos de tamaño $n$ de manera tal que cada parte contiene cada símbolo exactamente una vez (como el sudoku).

En 1956, W. U. Behrens [4] introdujo una especialización de los cuadrados latinos que él llama "gerechte". --- Bailey, Cameron, Connelly. AMM (2008). (pdf)

W. U. Behrens, Feldversuchsanordnungen mit verbessertem Ausgleich der Bodenunterschiede, Zeitschrift für Landwirtschaftliches Versuchs- und Untersuchungswesen 2 (1956), 176-193.

(Por desgracia, no tengo acceso a este documento, por lo que mi camino termina aquí.)