Mostrar que $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}k \sin(ax)}{a^{2}+k^{2}}=\frac{\pi}{2}\frac{\sinh(ax)}{\sinh(\pi a)}, \;\ x\in (-\pi,\pi)$$
A mí me parece que esta serie está llorando por el uso de la serie de Fourier. Me parece que estoy cerca de el, pero no estoy logrando poner todas las piezas juntas.
Por lo tanto, he intentado utilizar la serie de Fourier para $f(x)=e^{ax}$. $\qquad \cosh(ax)$ da lo mismo.
$$a_{k}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{ax} \cos(kx)dx=\frac{e^{a\pi}(a \cos(k\pi)+k \sin(k\pi))}{\pi (a^{2}+k^{2})}-\frac{e^{-a\pi}(a \cos(k\pi)-k \sin(k \pi))}{\pi (a^{2}+k^{2})}$$
$b_{k}=0$
El dado de la serie es evidente entre los $a_{n}$, pero que tipo de estancarnos.
$\displaystyle a_{0}=\frac{2 \sinh(\pi a)}{\pi a}$
Ahora, el uso de $\displaystyle e^{ax}=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}a_{k} \cos(kx)\Rightarrow e^{ax}=\frac{\sinh(\pi a)}{\pi a}+\sum_{k=1}^{\infty}a_{k} \cos(kx)$
Incluso he intentado igualando las partes reales e imaginarias. Donde la integral definida se convierte en
$$\left(\frac{(a \cos(k\pi)+k \sin(k\pi))e^{a \pi}}{a^{2}+k^{2}}+\frac{(a \sin(k\pi)-k \cos(k\pi))e^{a\pi}}{a^{2}+k^{2}}i\right)$$ $$-\left(\frac{(a \cos(k\pi)-k \sin(k\pi))e^{-\pi a}}{a^{2}+k^{2}}-\frac{(a \sin(k\pi)+k \cos(k\pi))e^{-a\pi}}{a^{2}+k^{2}}i\right)$$
Creo que se puede equiparar a lo imaginario y real de las piezas:
$$e^{ax}=\frac{e^{\pi a}-e^{-\pi a}}{2}\sum_{k=1}^{\infty}..............$$
Yo se mezclan aquí. La identidad en la línea anterior es $ \sinh(\pi a)$, así que parece que estoy en lo cierto. Si ese $e^{ax}$ a la izquierda del signo igual se $ \sinh(ax)$, luego un poco de álgebra y yo prácticamente por hacer.
Traté de hacer la suma, pero no acaba de llegar.
Hay algo que me estoy vistas. Puede alguien me apunte en la dirección correcta, por favor?.
