Integral de la $\int \sqrt{\frac{x}{2-x}}dx$

Question

$$\int \sqrt{\frac{x}{2-x}}dx$$

puede ser escrita como:

$$\int x^{\frac{1}{2}}(2-x)^{\frac{-1}{2}}dx.$$

hay una fórmula que dice que si tenemos la integral de la siguiente tipo:

$$\int x^m(a+bx^n)^p dx,$$

entonces:

• Si $p \in \mathbb{Z}$ utilizamos simplemente binomio de expansión, de lo contrario:
• Si $\frac{m+1}{n} \in \mathbb{Z}$ usamos la sustitución de $(a+bx^n)^p=t^s$ donde $s$ es el denominador de $p$;
• Por último, si $\frac{m+1}{n}+p \in \mathbb{Z}$ a continuación, se usa la sustitución de $(a+bx^{-n})^p=t^s$ donde $s$ es el denominador de $p$.

Si nos fijamos en este ejemplo:

$$\int x^{\frac{1}{2}}(2-x)^{\frac{-1}{2}}dx,$$

podemos ver que $m=\frac{1}{2}$, $n=1$, y $p=\frac{-1}{2}$, lo que significa que tenemos que utilizar la tercera sustitución desde $\frac{m+1}{n}+p = \frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$ pero cuando uso que la sustitución puedo obtener aún más complicado integral con raíz cuadrada. Pero, cuando traté de segunda sustitución tengo este:

$$2-x=t^2 \Rightarrow 2-t^2=x \Rightarrow dx=-2tdt,$$

así que cuando me implementar esta sustitución tengo:

$$\int \sqrt{2-t^2}\frac{1}{t}(-2tdt)=-2\int \sqrt{2-t^2}dt.$$

Esto significa que debemos de hacer la sustitución, una vez más, esta vez:

$$t=\sqrt{2}\sin y \Rightarrow y=\arcsin\frac{t}{\sqrt{2}} \Rightarrow dt=\sqrt{2}\cos ydy.$$

Así que ahora tenemos:

\begin{align*} -2\int \sqrt{2-2\sin^2y}\sqrt{2}\cos ydy={}&-4\int\cos^2ydy = -4\int \frac{1+\cos2y}{2}dy={} \\ {}={}& -2\int dy -2\int \cos2ydy = -2y -\sin2y. \end{align*}

Ahora, tenemos que regresar a la variable $x$:

\begin{align*} -2\arcsin\frac{t}{2} -2\sin y\cos y ={}& -2\arcsin\frac{t}{2} -2\frac{t}{\sqrt{2}}\sqrt\frac{2-t^2}{2}={} \\ {}={}& -2\arcsin\frac{t}{2} -\sqrt{t^2(2-t^2)}. \end{align*}

Ahora a $x$:

$$-2\arcsin\sqrt{\frac{2-x}{2}} - \sqrt{2x-x^2},$$

lo cual estaría muy bien si no he comprobado la solución a este libro en donde la respuesta correcta es:

$$2\arcsin\sqrt\frac{x}{2} - \sqrt{2x-x^2},$$

y cuando me enteré de la derivada de esto, resulta que la solución en el libro es la correcta, así que he cometido un error y no sé dónde, así que agradecería un poco de ayuda, y tengo una pregunta, ¿por qué la segunda sustitución funciona mejor en este ejemplo, a pesar de que el teorema de los que he mencionado anteriormente que dice que debo utilizar terceros para la sustitución de este ejemplo?

Answer 1

$$\int \sqrt{\frac{x}{2-x}}dx$$

Set $t=\frac {x} {2-x}$ $dt=\left(\frac{x}{(2-x)^2}+\frac{1}{2-x}\right)dx$

$$=2\int\frac{\sqrt t}{(t+1)^2}dt$$

Set $\nu=\sqrt t$ $d\nu=\frac{dt}{2\sqrt t}$

$$=4\int\frac{\nu^2}{(\nu^2+1)^2}d\nu\overset{\text{ partial fractions}}{=}4\int\frac{d\nu}{\nu^2+1}-4\int\frac{d\nu}{(\nu^1+1)^2+\mathcal C}$$

$$=4\arctan \nu-4\int\frac{d\nu}{(\nu^2+1)^2}$$

Set $\nu=\tan p$ $d\nu=\sec^2 p dp.$ $(\nu^2+1)^2=(\tan^2 p+1)^2=\sec^4 p$ $p=\arctan \nu$

$$=4\arctan \nu-4\int \cos^2 p dp$$

$$=4\arctan \nu-2\int \cos(2p)dp-2\int 1dp$$

$$=4\arctan \nu-\sin(2p)-2p+\mathcal C$$

Ajuste de nuevo la $p$$\nu$:

$$=\color{red}{\sqrt{-\frac{x}{x-2}}(x-2)+2\arctan\left(\sqrt{-\frac{x}{x-2}}\right)+\mathcal C}$$

Answer 2

Permítanme tratar de hacer derivar que la antiderivada. Calcula:

$$f(x)=\underbrace{-2\arcsin\sqrt{\frac{2-x}{2}}}_{f_1(x)}\underbrace{-\sqrt{2x-x^2}}_{f_2(x)}.$$

La forma más fácil término es claramente $f_2$:

$$f_2'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{2x-x^2}}\frac{d}{dx}(2x-x^2)=\frac{x-1}{\sqrt{2x-x^2}}.$$

Ahora el desordenado plazo. Recordemos que $\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Así:

\begin{align*} f_1'(x)={}&-2\frac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{\frac{2-x}{2}}\right)^2}}\frac{d}{dx}\sqrt{\frac{2-x}{2}}=-2\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2-x}{2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\frac{d}{dx}\sqrt{2-x}={} \\ {}={}&-2\sqrt{\frac2x}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2-x}}\cdot(-1)=\frac{2}{\sqrt x}\frac{1}{2\sqrt{2-x}}=\frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}. \end{align*}

Así:

$$f'(x)=f_1'(x)+f_2'(x)=\frac{x}{\sqrt{2x-x^2}}=\frac{x}{\sqrt x}\frac{1}{\sqrt{2-x}}=\frac{\sqrt x}{\sqrt{2-x}},$$

cual es tu integrando. Así que estaban en lo correcto, después de todo! O por lo menos tiene el resultado correcto, pero no importa cómo lo intente, no puedo encontrar un error en sus cálculos.

En cuanto al libro de la solución, tome su $f$, y componer con $g(x)=2-x$. Conseguir el libro de la solución, ¿verdad? Excepto por un signo. Pero, a continuación,$g'(x)=-1$, por lo que el libro de la solución también está en lo correcto: sólo un cambio diferente de variables, probablemente, aunque realmente no puedo adivinar qué.