Los elementos que sólo tienen un número finito de conjugados en un grupo es un grupo característico.

Question

Demostrar que en cualquier grupo, el subconjunto de todos los elementos que sólo tienen un número finito de conjugados en G(un grupo), es un subgrupo característico.

Mi enfoque: Si algún elemento tiene un número finito de conjugados, entonces los conjugados comenzarán a repetirse, pero no fui capaz de proceder más allá

Answer 1

Dejemos que $G$ sea un grupo, y que $H$ sea el conjunto que contiene los elementos del grupo con clase de conjugación finita.

Para demostrar que $H$ es un subgrupo, considere el producto $ab^{-1}$ de elementos arbitrarios de $H$ . Para cualquier $g\in G$ tenemos la igualdad $$g(ab^{-1})g^{-1}=(gag^{-1})(gb^{-1}g^{-1}).$$ Esto implica que cualquier conjugado de $ab^{-1}$ es sólo un producto de conjugados de $a$ y $b$ de los cuales sólo hay un número finito. Como sólo hay un número finito de productos, $ab^{-1}$ tiene una clase de conjugación finita. Por lo tanto, $H$ es un subgrupo.

Ahora, dejemos que $\varphi$ sea algún automorfismo de $G$ y $a$ sea un elemento de $H$ . Para cualquier $g\in G$ existe alguna $h\in G$ tal que $\varphi(h) = g$ . En consecuencia, se deduce que tenemos la siguiente igualdad para la conjugación: $$g\varphi(a)g^{-1}=\varphi(h)\varphi(a)\varphi(h^{-1})=\varphi(hah^{-1}).$$ Esto implica que cualquier conjugado de $\varphi(a)$ es la imagen de un conjugado de $a$ de los cuales sólo hay un número finito. Por lo tanto, $\varphi(a)$ tiene un número finito de conjugados, por lo que $\varphi(a)\in H$ . Por lo tanto, $H$ es característico.

Answer 2

Escriba $Cl_G(a)$ para la clase de conjugación de $a \in G$ y $C_G(a)$ para el centralizador de $a$ en $G$ . Observe que $|Cl_G(a)|=|G:C_G(a)|$ .

Que el conjunto $F=\{ a \in G : |Cl_G(a)| \lt \infty \}$ . En general, si $H,K$ son subgrupos de un grupo $G$ con $|G:H| \lt \infty$ y $|G:K| \lt \infty$ entonces $|G:H \cap K| \lt \infty$ . Por lo tanto, si $a,b \in F$ entonces $C_G(a) \cap C_G(b)$ tiene un índice finito en $G$ . Desde $C_G(a) \cap C_G(b) \subseteq C_G(ab)$ se deduce que $ab \in F$ .
Por último, es fácil demostrar que $C_G(a)=C_G(a^{-1})$ de ahí que si $a \in F$ entonces $a^{-1} \in F$ . Así que $F$ es un subgrupo.
Si $\alpha \in Aut(G)$ , entonces claramente (usa que $\alpha$ es homomórfico y una biyección), $\alpha[C_G(a)]=C_G(\alpha(a))$ lo que demuestra que $F$ char $G$ .

Answer 3

Obsérvese que si A={conjugados de g en G} entonces |A|=|G:C(g)|.Ahora bien, si f es un automorfismo en G entonces f(C(g))=C(f(g)) es decir, si B={ conjugados de f(g) en G} entonces |B|=|G:C(f(g))|=|A|. Esto implica que f(g) tiene un número finito de conjugados en G. Así que f(H) es un subconjunto de H. Un proceso similar muestra que (f inversa)(H) es un subconjunto de H. Por lo tanto f(H)=H, es decir, H char G