En el powerset de un monoid, ¿la segunda operación para jugar bien con la primera? De hecho, es incluso útil?

Question

Deje $X$ denotar un monoid. Entonces, podemos hacer que $Y = \mathcal{P}(X)$ en un monoid, demasiado. Definir $$AB = \{ab \mid a \in A, b \in B\}$$ for all $a,B \in Y.$ We see immediately that $1$ (shorthand for $\{1\}$) es nuestra nueva identidad:

$$A1 = A, \;\; 1B = B.$$

De hecho, $Y$ se convierte en una orden de monoid por definir ese $A \leq B$ es la notación para $A \subseteq B$. De ello se sigue que:

• $A \leq B \rightarrow AC \leq BC$
• $A \leq B \rightarrow CA \leq CB$

Además, $Y$ es una completa atomista del álgebra Booleana, y tenemos compatibilidad de composición con combinaciones:

• $A \left(\bigvee_{i \in I} B_i\right) = \bigvee_{i \in I} AB_i$

• $\left(\bigvee_{i \in I} A_i\right) B = \bigvee_{i \in I} A_i B$

Ahora la mayoría de los autores probablemente iba a parar allí. Y tal vez esa es la cosa correcta de hacer. Pero, por el bien de la experimentación, permite ir un paso más allá. Definir otro monoid estructura en $Y$ por escrito

$$A*B = (A^cB^c)^c.$$

Pregunta. ¿Esta nueva operación de "jugar bonito" con el anterior-se define la operación en algún sentido? De hecho, es la $*$ explotación en cualquier forma útil?

---

Discusión. Vemos que $*$ es asociativa, y que $1^c$ es su identidad

$$A * 1^c = A, \;\; 1^c * B = B.$$

También tenemos la siguiente.

• $A \leq B \rightarrow A*C \leq B*C$

• $A \leq B \rightarrow C*A \leq C*B$

• $A * \left(\bigwedge_{i \in I} B_i\right) = \bigwedge_{i \in I} (A*B_i)$

• $\left(\bigwedge_{i \in I} A_i\right) * B = \bigwedge_{i \in I} (A_i * B).$

---

Observación. Podemos hacer algo similar con el binario de relaciones en un conjunto. Dado binario relaciones $\alpha$ $\beta$ sobre un conjunto $S$, definir

$$\alpha\beta = \{(x,y) \in S^2 \mid \exists s \in S : (x,s) \in \alpha \wedge (s,y) \in \beta\}$$

$$\alpha * \beta = \{(x,y) \in S^2 \mid \forall s \in S : (x,s) \in \alpha \vee (s,y) \in beta\}.$$

Esto hace que $\mathcal{P}(S^2)$ a un ordenado monoid de dos maneras distintas. En la primera, la relación diagonal es la identidad. En el segundo, su complemento es la identidad. Todas las posibles interacciones con el fin de la teoría de los conceptos de retención. En realidad, podemos ir más allá. En particular, la clase de todos los conjuntos se pueden hacer en una categoría cuyos morfismos son relaciones binarias. Sin embargo, esto se puede hacer de dos maneras diferentes, que corresponden a dos diferentes leyes de la composición. Una vez más, todas las posibles interacciones con el fin de la teoría de los conceptos de retención.

Answer 1

Demasiadas preguntas en el uno. Respondo a la primera:

El nuevo monoid $\mathcal{P}(X)(*)$ es isomorfo a $\mathcal{P}(X)$ por el mapa $A\to A^c$, por lo que probablemente no es útil.

Answer 2

Esto en realidad no responder a su pregunta, pero es algo que se podría encontrar interesante: el powerset de un monoid y el conjunto de relaciones binarias sobre un conjunto de ejemplos de residuated celosías. Estos ejemplos se explican en detalle en el libro Residuated Redes: Una Algebraicas Vistazo a Substructural Lógicas por Galatos, Jipsen, Kowalski y Ono.

En el caso de que el conjunto de $A=\mathcal P(S\times S)$ de los binarios de relaciones en un conjunto $S$, tenemos dos operaciones unarias en $A$:

• el conversar de $\alpha\in A$ es la relación $\alpha^{\mathrm{op}}$ definido por $(x,y)\in\alpha^{\mathrm{op}}\iff(y,x)\in\alpha$; y
• el complemento de $\alpha\in A$ es la relación $\alpha^{\mathrm c}$ definido por $(x,y)\in\alpha^{\mathrm c}\iff(x,y)\notin\alpha$.

Podemos entonces definir una operación binaria $\backslash$ $A$ mediante el establecimiento $\alpha\mathop\backslash\beta=(\alpha^{\mathrm{op}}\beta^{\mathrm c})^\mathrm c$. Esta operación cumple el 'residuation la identidad de los $$ \alpha\gamma\leq\beta\ffi\gamma\leq\alpha\mathop\barra invertida\beta $$ para todos los $\alpha,\beta,\gamma\in A$, o en otras palabras, para cada una de las $\alpha\in A$ funciones $\alpha\mathord-\colon A\to A$ $\alpha\mathop\backslash\mathord-\colon A\to A$ constituyen un (monótona) conexión de Galois.