Vamos $(X_{n})_{n\geq 1}$, $X$ ser $\mathbb{R}$valores de las variables aleatorias. Mostrar que $X_{n}$ converge a $X$ en la distribución iff $E\{f(X_{n})\}$ converge a $ E\{f(X)\}$ para todos los delimitada $C^{\infty}$ funciones $f$.
He suficiencia: si $f$$C^{\infty, b}$, y si $\lim_{n \to \infty} E\{f(X_{n})\}=E\{f(X)\}$, luego por el teorema en el texto, tenemos $X_{n}\to^{\mathcal{d}} X$.
Por necesidad, estoy pensando que debo utilizar la Monotonía de la Clase Teorema (Deje $\mathcal{M}$ ser una clase de delimitadas las funciones de asignación de $\Omega$ a $\mathbb{R}$. Supongamos $\mathcal{M}$ es cerrado bajo la multiplicación . Deje $\mathcal{A}=\sigma(\mathcal{M})$. Deje $\mathcal{H}$ ser un espacio vectorial de las funciones de con $\mathcal{H}$ contiene $\mathcal{M}$. Supongamos $\mathcal{H}$ contiene la constante de funciones y es que siempre que $(f_{n})_{n\geq 1}$ es una secuencia en $\mathcal{H}$ tal que $0\leq f_{1}\leq f_{2} \leq \cdots$, entonces si $f=\lim_{n\to \infty}f_{n}$ es acotado, entonces $f$$\mathcal{H}$. A continuación, $\mathcal{H}$ contiene todos los acotado, $\mathcal{A}$medible de funciones.) Por lo tanto, queremos $\mathcal{H}$$C^{b}$, y queremos que $f_{n}$ a ser jugado por $C^{\infty,b}$.
No estoy seguro de cómo mostrar este matemáticamente de forma rigurosa, sin embargo.
También, como una sugerencia, nos dijeron que el uso de los resultados de los dos ejercicios anteriores:
Vamos $(X_{n})_{n\geq 1}$, $X$, $Y$ por $\mathbb{R}$valores de las variables aleatorias, todo en el mismo espacio, y supongamos que $X_{n}+\sigma Y$ converge en distribución a $X+\sigma Y$ para cada uno de ellos fijo $\sigma >0$. Mostrar que $X_{n}$ converge a $X$ en distribución.
Deje $X, Y$ ser independiente de r.v.'s en el mismo espacio con valores en $\mathbb{R}$ y asumen $Y$$N(0,1)$. Deje $f$ estar delimitado continua. Mostrar que $E\{f(X+\sigma Y)\}=E\{f_{\sigma}(X)\}$ donde $f_{\sigma}(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(z)\exp(-\frac{1}{2}|z-x|^{2}/\sigma^{2})dz$. Mostrar que $f_{\sigma}$ es limitado y $C^{\infty}$.
No estoy seguro de cómo se supone para ayudar, sin embargo. Especialmente la parte sobre la elección de una variable que es $N(0,1)$ e independiente a $X$.
