Binomios en álgebras asociativas

Question

Dado cualquier álgebra asociativa $A$ sobre un campo de característica cero, $x\in A$$k\in \mathbb Z_+$,$\binom{x}{k} = \frac{x(x-1)\cdots(x-k+1)}{k!}$. No es difícil ver que se sigue en $A$.

Cómo expresar $\binom{x+y}{k}$ en términos de una combinación lineal de productos de $\binom{x}{m}$ $\binom{y}{n}$ adecuado $m,n\in \mathbb Z_+$ ?

Gracias,

Answer 1

El argumento que tengo en mente parece ser generar un poco de confusión, así que voy a explicar en su totalidad. El crucial lema es el siguiente.

Lema: Supongamos $P(x_1, ... x_n)$ es un polinomio. Si $P(k_1, ... k_n) = 0$ para todos los enteros no negativos $k_1, ... k_n$, $P = 0$ de forma idéntica.

Prueba. Procedemos por inducción sobre $n$. El caso de $n = 1$ es obvia. En el caso general, respecto a $P(x_1, ... x_n)$ como un polinomio en $x_n$ con coeficientes en $F[x_1, ... x_{n-1}]$, por lo que escribir $$P(x_1, ... x_n) = \sum_i P_i(x_1, ... x_{n-1}) x_n^i.$$

A través de la fijación $x_1, ... x_{n-1}$ y la variación de $x_n$ llegamos a la conclusión de que cada uno de los polinomios $P_i(x_1, ... x_{n-1})$ satisface $P_i(k_1, ... k_{n-1}) = 0$ para todos los enteros no negativos $k_1, ... k_{n-1}$, y el resultado sigue por inducción.

Considere ahora el polinomio $$P(x, y) = {x + y \choose m} - \sum_{a=0}^m {x \choose a} {y \choose m-a}.$$

La combinatoria argumento en Dimitrije Kostic la respuesta de la muestra que $P(k_1, k_2) = 0$ para todos los enteros no negativos $k_1, k_2$, y, a continuación, el lema anterior muestra que el $P = 0$ de forma idéntica. En otras palabras, $P(x, y) = 0$, en el universal conmutativa $\mathbb{Q}$-álgebra generada por dos generadores $\mathbb{Q}[x, y]$, y por lo $P = 0$ para los elementos $x, y$ en cualquier conmutativa $\mathbb{Q}$-álgebra.

Answer 2

Hay una sencilla fórmula combinatoria. Para todos los enteros positivos $x,y,m$ $$ \binom{x+y}{m} = \sum_{i=0}^m \binom{x}{l} \binom{y}{m-l} $$ Es fácil demostrar. Si estás eligiendo $m$ elementos de un conjunto de $x+y$ elementos, usted puede hacer esto mediante la adopción de algunas de número de $l$ de ellos de entre los primeros a $x$ elementos y, a continuación, el resto de los $m-l$ a partir de la última $y$ elementos. ¿Esto podría ser lo que estás buscando?