Expresión logarítmica cómo simplificar

Question

$$ \log{3}24 - 3\log{3}5\times \log_{5}2$$

Que puedo conseguir es:

$$ \log_3{24} - \log3{5^3} \times \log{5}2$$

Cambio de norma base para conseguirlo todo en base 3:

$$ \log_5{2} = \frac{\log_3{2}}{\log_3{5}} $$

Ahora tengo:

$$\log_3{24} - \frac{\log_3{5^3}\times \log_3{2}}{\log_3{5}}$$

¿Cómo continuar desde aquí?

Answer 1

Sólo tienes que escribir $$\frac{\ln(24)}{\ln(3)}-\frac{3\ln(5)}{\ln(3)}\cdot \frac{\ln(2)}{\ln(5)}$$ and $% $ $\ln(24)=\ln(3\cdot 2^3)=\ln(3)+3\ln(2)$y con esto obtenemos $$\frac{\ln(3)+3\ln(2)-3\ln(2)}{\ln(3)}=1$ $

Answer 2

$$\begin{align}\log_3{24} - \frac{\log_3{5^3}\times \log_3{2}}{\log_3{5}}&=\log_3{24} - \frac{3\log_3{5}\times \log_3{2}}{\log_3{5}}\ &=\log_3{24} - 3\log_3 2\ \end {Alinee el} $$ ahora puedes utilizar la ley de exponente en el segundo término y luego la ley aditiva. ¿Puede terminar de aquí?

Answer 3

Continuando con lo que tiene,\begin{align} \log_3{24} - \frac{\log_3{5^3}\times \log_3{2}}{\log_3{5}} &= \log_3{24} - \frac{3\cdot\log_3{5}\cdot \log_3{2}}{\log_3{5}} \ &=(\log_3{3} + \log_3{8}) - 3\cdot \log_3{2} \ &= 1 + 3 \log_3 2 - 3 \log_3 2 \ &= 1. \end {alinee el}

En preguntas como estas, es a menudo una buena idea para exponentes reducir tanto como sea posibles: Iniciado por conversión $3 \log_3 5$ $\log_3 (5^3)$, pero la expresión anterior es más fácil trabajar con. Puedes ver más en cómo expansión $\log_3 24$ fue un útil paso para terminar.