Estoy familiarizado con lo que cualquier continua mapa $ f : S^{n} \rightarrow S^{n} $ homotópicas a un mapa con punto fijo. Ahora quiero saber si es cierto en general. Supongamos que tenemos un M colector liso simplemente conexa de dimensión m y una continua mapa $ f : M \rightarrow M $. ¿Es posible construir un mapa continuo $ g : M \rightarrow M $ que ha punto fijo y es homotópicas a f? ¿Qué pasa con el caso cuando M es conectado pero no simplemente conectado?
Respuesta
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Sí, esto es cierto, y usted sólo necesita $M$ a ser conectado. De ello se desprende muy fácilmente desde la conocida
Homogeneidad Lema. [Milnor, de la Topología de la Diferenciable punto de vista, p22] Vamos a $y$ $z$ ser arbitraria puntos del interior de la suave, conectado el colector $M$. Entonces existe un diffeomorphism $h: N \to N$ que es suavemente isotópica para la identidad y la lleva a $y$ a $z.$
Por lo tanto si $f : M\to M$ es suave, se puede tomar en cualquier $z \in M$ y elija $y = f(z),$, de modo que el resultado de la $h$ satisface $h \circ f(z)=z.$ Desde $h$ es isotópico a la identidad, $h \circ f$ es isotópico a $f,$ así que hemos terminado.
Si $f : M \to M$ es meramente continuo, para aplicar este argumento también es necesario saber que cada mapa continuo es homotópica a una suave mapa, que sigue desde el Whitney teorema de aproximación.
Desde que se le preguntó acerca continua mapas y no lisos: usted debe ser capaz de emular este argumento, sin la suave estructura (y por lo tanto sin necesidad de la aproximación), desde conectado topológico colectores también son homogéneas.
