¿Mapa de Sobolev con menores lisos es suave?

Question

$\newcommand{\Cof}{\text{cof}}$ Deje $d>2$. Deje $f \in W^{1,p}(\Omega,\mathbb{R}^d)$ donde $\Omega$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^d$. Deje $2 \le k \le d-1$ ser fijo.

Supongamos que $\det df>0$ y $\bigwedge^k df$ es suave. Es $f$ liso?

Una respuesta parcial: Si $k,d$ no son ambos inclusive, la respuesta es positiva. (ver detalles más abajo).

No estoy seguro de la respuesta sigue siendo positivo cuando se $k,d$ son tanto que incluso, ya que en ese caso, $\bigwedge^k A=\bigwedge^k (-A)$ y el tanto $A,-A \in \text{GL}^+(\mathbb{R}^d)$. Así, los menores de edad no pueden distinguir entre un mapa y su negativa, por lo que teóricamente $df$ "switch" entre "algo" y su negativa, violando así la suavidad.

Sería interesante encontrar un hormigón contador de ejemplo para la suavidad en este caso. La menor de las dimensiones se $d=4,k=2$. Cada posible contra-ejemplo debe tener no continua débil derivados.

Al $k,d$ no son ambos inclusive, $\bigwedge^k df$ únicamente determina $df$ (asumiendo $\det df>0$). Es decir, si $A,B \in \text{GL}^+(\mathbb{R}^d)$$\bigwedge^k A=\bigwedge^k B$,$A=B$. De hecho, escribir $S=AB^{-1}$. Luego tenemos a $\bigwedge^k S=\text{Id}_{\bigwedge^k \mathbb{R}^d}$. Esto implica, cualquier $k$-dimensiones subespacio de $\mathbb{R}^d$ $S$- invariante, por lo tanto $S$ es un múltiplo de la identidad, es decir,$S=\lambda \text{Id}$, lo que obliga a $\lambda^k=1$, lo $\lambda=\pm 1$. Si $k$ es impar, entonces $\lambda=1$, e $S=\text{Id}$. Si $d$ es impar, entonces el requisito de $S \in \text{GL}^+(\mathbb{R}^n)$ fuerzas de $\lambda^d=\det S >0$, así que de nuevo $S=\text{Id}$.

Se demostró que el mapa de $\psi: A \to \bigwedge^k A$ es un buen inyectiva homomorphism de Mentira grupos $\text{GL}^+(V) \to \text{GL}(\bigwedge^{k}V)$. Set $ S=\text{Image} (\psi)$. Desde $S$ es una incrustado submanifold, $\psi:\text{GL}^+(V) \to S$ es un diffeomorphism. Ahora componer $x \to \bigwedge^k df_x$ con el buen inversa de a $\psi$ termina el trabajo.

Algunos se proporcionan más detalles en mi respuesta a continuación.

Answer 1

En esta respuesta, se supone que $k,d$ no son ambos inclusive:

Denotar por $\psi:\text{GL}^+(V) \to \text{GL}(\bigwedge^{k}V)$ el mapa $\psi(A)= \bigwedge^k A$. $\psi$ es un buen inyectiva homomorphism de la Mentira de los grupos, por lo tanto, una inmersión. (La inyectividad se basa en la suposición de que $k,d$ no son ambos inclusive).

Denotar $ S=\text{Image} (\psi)$. $S$ es una incrustado submanifold de $\text{GL}(\bigwedge^{k}V)$.

El mapa $$ \phi: x \to \bigwedge^k df_x \,\,,\,\, \phi:\Omega \to \text{GL}(\bigwedge^{k}V) $$ es suave, por supuesto, y su imagen se encuentra en $S$. Desde $S$ está incrustado, $\phi$ se queda suave después de restringir el codominio a $S$. A continuación, obtener que en el mapa

$$ \tilde \phi: x \to \bigwedge^k df_x \,\,,\,\, \tilde \phi:\Omega \to S $$ es suave.

Por último, desde el $\psi:\text{GL}^+(V) \to S$ es un diffeomorphism, podemos deducir que el siguiente mapa de $\Omega \to \text{GL}^+(\mathbb{R}^d)$ es suave:

$$ x \to \psi^{-1} \circ \tilde \phi(x)=df_x $$

Esto establece la suavidad de $f$.