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Considere el caso de las curvas de $y= \pm\frac{1}{x^2+1}$ (en el caso general puede reducirse a este caso). La elipse de mayor área es el no $2 x^2 + y^2=1$ pero $ \frac{x^2}{2} + 2 y^2 =1$, tangente a los gráficos en puntos de $(\pm 1, \pm \frac{1}{2})$.
Hay una familia de elipses tangente a la gráfica
$$\frac{x^2}{u}+\frac{y^2}{v}=1$$ where $v= \frac{27 u}{4(u+1)^3}$. The maximum of $uv = \frac{27 u^2}{4(u+1)^3}$ occurs at $u=2$, with $v=\frac{1}{2}$.
Por lo tanto, tómese su elipse, el doble del diámetro horizontal, y dividir el diámetro vertical por $\sqrt{2}$ para obtener el máximo de la elipse. Su área es de $\pi$, $1/2$ el área entre las curvas. Tenga en cuenta que el común de la tangente a la elipse y la curva pasa por el vértice de la curva.
Considere la posibilidad de un punto de la curva $\frac1{x^2+c}$, $(p, \frac1{p^2+c}$). Una elipse es dibujado que está contenida en las curvas y es tangente en este punto. Esto significa que $$a\cos\theta=p\\ b\sin\theta=\frac1{p^2+c} \\ \implies A=\pi ab=\frac{2p\pi}{(p^2+c)\sin2\theta}$$ Para el máximo y el mínimo de área que debe tomar la derivada respecto de a$p$$\theta$, y los puso a $0$.
$$\frac{\partial A}{\partial\theta}=\frac{4p\pi \cos2\theta}{(p^2+c)\sin^22\theta}=0 \\ \frac{\partial A}{\partial p}=\frac{2(c-p^2)\pi}{(p^2+c)^2\sin2\theta}=0$$
Esto le da a $\theta=\pi/4$ a partir de la primera ecuación y la $p= \sqrt c$. De manera que el área es $$A=\pi/\sqrt c$$
Para mostrar que esta elipse es completamente contenida en las curvas que debe demostrar que la tangente de esta elipse en $\theta=\pi/4$ es igual a la tangente de la curva en $p=\sqrt c$ que es verdad en este caso. Así que esto es completamente contenidos de la elipse.
Incompleta:
A pesar de lo que esta falta es, como saber si esta es de máximos o mínimos. Además de que se siente como en los casos de $x=0, \infty$ no están bien alojados aquí.
La expansión en serie de Taylor alrededor de $x=0$
$$ y = b\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2} = b-\frac{b x^2}{2^2}-\frac{b x^4}{8^4}+O\left(x^5\right) $$
y
$$ y = \frac{1}{(x^2+c)} = \frac{1}{c}-\frac{x^2}{c^2}+\frac{x^4}{c^3}+O\left(x^5\right) $$
Ahora la solución de $$ \left\{ \begin{array}{rcl} b & = & \displaystyle\frac{1}{c}\\ \displaystyle\frac{b}{2 a^2} & = & \displaystyle\frac{1}{c^2} \end{array} \right. $$
tenemos
$$ a = \sqrt{\frac{c}{2}}, b = \frac{1}{c} $$
y la zona es
$$ S = \pi a b = \frac{\pi}{\sqrt{2 c}{}} $$
NOTA
En la expansión de la serie el tercer término es negativo para la elipse.Esto garantiza la inclusión.
No creo que su elipse sea máxima. Con el fin de disminuir el número de parámetros tomo $y=\pm{1\over 1+x^2}$ como delimitador de las curvas y luego buscar la elipse más grande. La experimentación ha demostrado que la elipse más grande se ve como en la siguiente figura. Su área es de $40\%$ más grande que el área de la elipse.
Dada la función de la elipse como: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\tag{1}$$ It is clear that $b$ must be equal to $\frac1c$ so that the ellipse must be below the curve $\frac{\pm1}{x^2+c}$ Solving for $y$ in $ (1) $ gives us: $$\left{y\to\frac{b \sqrt{a^2-x^2}}{a}\right},\left{y\to -\frac{b \sqrt{a^2-x^2}}{a}\right}$$ We know that $b=\frac1c$, therefore, half of the ellipse can be written as: $$y=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a c}$$ Now, in order for the ellipse to be under the curve, we must ensure that: $$\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a c}0$$ Now the equality is achieved when for the following solutions in terms of $x$: $$\left{{x\to 0},\left{x\to -\frac{\sqrt{-a \sqrt{a^2+4 c}+a^2-2 c}}{\sqrt{2}}\right},\left{x\to \frac{\sqrt{-a \sqrt{a^2+4 c}+a^2-2 c}}{\sqrt{2}}\right},\left{x\to -\frac{\sqrt{a \left(\sqrt{a^2+4 c}+a\right)-2 c}}{\sqrt{2}}\right},\left{x\to \frac{\sqrt{a \left(\sqrt{a^2+4 c}+a\right)-2 c}}{\sqrt{2}}\right}\right}$$ Meaning, these are values of $x$ in the $xy$-plane where the ellipse and the curves "intersect". Now, we want this solutions equal to $0$, so that the graphs of the functions only ever intersect at $x=0$ (if that is meaningful). Now, we get the solutions as: $$a\to\pm\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{2}}$$ Since $a$ must be greater than 0, we reject the negative answer. Now we have $a=\frac {\sqrt {c }} {\sqrt{2}}$ and $b=\frac1c$, now half of the ellipse is defined by: $$y=\frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{c}{2}-x^2}}{c^{3/2}}$$ Square both sides, and you get the function for the ellipse as: $$y^2=\frac{2 \left(\frac{c}{2}-x^2\right)}{c^3}$$
El área de la elipse está dada por: %#% $ de #% dado $$A=2\int_{-a}^{a}\frac{b \sqrt{a^2-x^2}}{a}dx$ y $a=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{2}}$, el área máxima de la elipse debe ser: $b=\frac1c$ $
