Declaración sobre los factores primos de los números de Fibonacci con índice primo

Question

Consideremos el conjunto de números de Fibonacci $F_{i}$ con un índice primo $p$ , $\mathcal{F}_{\mathbb{P}}$ .

Los primeros números de este conjunto son:

$\mathcal{F}_{\mathbb{P}} = \{F_2,\; F_3,\; F_5,\; F_7,\; F_{11},\; F_{13},\; ...\} = \{1,\; 2,\; 5,\; 13,\; 89,\; 233,\; ...\}$

¿Es todo factor primo de estos números de Fibonacci necesariamente mayor o igual que su índice para $p \geq 5$ ?

Algunos comentarios:

Porque $\mbox{gcd}(F_{m},F_{n})=F_{\text{gcd}(m,n)}$ para $m,n\ge 1$ un número de Fibonacci con un índice primo $p$ debe ser necesariamente coprima con cada número de Fibonacci que posea un índice no igual a $1$ o múltiplos enteros de $p$ .

En consecuencia, hay bastantes números que no pueden ser factores primos de cada miembro de $\mathcal{F}_{\mathbb{P}}$ pero los números primos que no son números de Fibonacci ( $7$ por ejemplo) siempre pueden ser factores primos potenciales en base a los criterios anteriores.

Una búsqueda rudimentaria a través de $p < 50$ muestra que no hay factores primos de $F_p$ son menores que $p$ . ¿Se puede probar o refutar esto para todos los $p$ ?

Answer 1

Sí. Considere la matriz $\pmod{p}$

$$ \mathbf{F} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$

Tenga en cuenta que

$$ \mathbf{F}^n = \begin{bmatrix} F_{n+1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n-1} \end{bmatrix} $$

Ahora, $\mathbf{F}$ es miembro de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)$ que tiene orden $q(q+1)(q-1)^2$ . Por lo tanto, para los primos $q$ , si $F_p \equiv 0 \pmod{q}$ entonces $F_{p-1} \equiv F_{p+1} = f \bmod{q}$ Así que

$$\mathbf{F}^p = fI$$

lo que implica (por el Pequeño Teorema de Fermat) $$\mathbf{F}^{p(q-1)^2} = (f^{q-1})^{q-1}I = I$$

Así que por el teorema de Lagrange, $p(q-1)^2 \mid q(q+1)(q-1)^2 \implies p \mid q(q+1)$ .

Se pregunta si el primer $q$ puede ser menor que el primo $p$ . Si ese es el caso, entonces $q+1 \neq p$ y así $p, q(q+1)$ son coprime una imposibilidad.

Nota: Esto es casi mágico; me sorprende que los números de Fibonacci fueran que rico en estructura...