Una Proposición en el espacio de Banach

Question

Yo quiero probar la siguiente proposición. Se trata del ejercicio de Conway, el Análisis Funcional.

Prop. Deje $X$ ser compacto y supongamos que $\mathfrak{X}$ es una de Banach subespacio de C(X). Si $E$ es un subconjunto cerrado de $X$ tal que para cada a $g$ $C(E)$ hay un $f\in \mathfrak{X}$ tal que $f|_E=g$, entonces no es una constante $c>0$ tal que para cada una de las $g\in C(E)$, $f\in \mathfrak{X}$ $f|_E=g$ tal que $$ \sup_{x\in X}|f(x)|\leq c\sup_{x\in E}|g(x)| $$

Por la asignación abierta teorema, he observado que $f\mapsto f|_E$ es una carta abierta. Tal vez las necesidades de Categoría de Baire Teorema, pero no tengo idea de cómo usarlo. Por favor, dame alguna pista.

Gracias de antemano.

Answer 1

Está muy cerca de allí. Deje $R: \mathfrak{X} \to C(E)$ ser el mapa de $R(f) = f|_E$. Se ha demostrado que la $R$ es una tarjeta abierta y por lo tanto hay un $r>0$ tal que $B_{C(E)}(r) \subset R(B_{\mathfrak{X}})$ (donde $B_Y(r)$ es la bola abierta de radio $r$ $Y$ $B_Y$ denota la bola abierta de radio $1$).

Entonces, para$g \in C(E)$,$\frac{rg}{2 \|g\|} \in B_{C(E)}(r)$. Como resultado, no es $f \in B_{\mathfrak{X}}$ tal que $R(f) = \frac{rg}{2 \|g\|}$. En particular, $$R\bigg(\frac{2 \|g\|}{r} f \bigg) = g$$ and since $\|f\| \leq 1$, $\bigg \| \frac{2 \|g\|}{r} f \bigg \| \leq \frac{2}{r} \|g\|$ so you can take $c = \frac{2}{r}$ para el resultado deseado.

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Más generalmente, si $X,Y$ normativa espacios vectoriales y $T:X \to Y$ es limitada, a continuación, $T$ es abierto si y sólo si existe $C > 0$ tal que para cada a $g \in Y$ hay $x \in X$ tal que $Tx = y$$\|x\| \leq C \|y\|$. A su vez, esto es equivalente a la existencia de una $r > 0$ tal que $B_Y(r) \subset T(B_X)$. La prueba de esto, es exactamente la misma que la prueba en el caso especial que se dan aquí.