Continua versus diferenciable

Question

Una función es "diferenciable" si se ha derivado. Una función es continua "" si no tiene saltos repentinos en ella.

Hasta el día de hoy, pensé que estos eran simplemente dos definiciones equivalentes de un mismo concepto. Pero he leído algunas cosas hoy en día, que parece estar afirmando que esta es no es el caso.

La siguiente pregunta obvia es "¿por qué?" Al parecer alguien ya ha preguntado:

Son Funciones Continuas Siempre Diferenciable?

Varias respuestas fueron dadas, pero no entiendo a ninguno de ellos. En particular, la Wikipedia y una de las respuestas por encima de ambas afirman que $|x|$ no tiene derivada. ¿Alguien puede explicar esta muy inesperado resultado?

Edit: al Parecer, algunas personas les disgusta el hecho de que esto no es obvio para mí. Para ser claro: yo no estoy diciendo que el resultado es falso. (Estoy seguro de que muchos de los grandes matemáticos han analizado la cuestión muy abundante y está muy seguro de la respuesta.) Yo estoy diciendo que es extremadamente desconcertante. (Como regla general, la matemática tiene un hábito de hacer eso. Que es una de las razones por las que nos demanda la prueba de todo.)

En particular, ¿puede alguien explicar precisamente por qué la derivada de $|x|$ a cero es no simplemente cero? Después de todo, la función no es ni creciente ni decreciente, lo que debería significar la derivada es cero. Alternativamente, la expresión

$$\frac{|x + a| - |x - a|}{a}$$

se vuelve más y más cerca de cero como $a$ se aproxima a cero cuando se $x=0$. (De hecho, es exactamente cero para todos los $a$!) Es que no se cómo derivados del trabajo?

Varias respuestas han sugerido que la derivada no está definida aquí ", porque no sería un salto en la derivada en ese punto". Esto parece afirmar que una función continua no debe haber un discontinua derivados; yo no estoy convencido de que este es el caso. ¿Alguien puede confirmar o rechazar este argumento?

Answer 1

Vamos a ser claros: la continuidad y la diferenciabilidad de comenzar como un concepto en un punto. Es decir, hablamos de una función:

1. Definido en un punto de $a$;
2. Continua en un punto a $a$;
3. Diferenciable en un punto de $a$;
4. Continuamente diferenciable en un punto de $a$;
5. Dos veces derivable en un punto de $a$;
6. Continuamente dos veces derivable en un punto de $a$;

y así sucesivamente, hasta llegar a la "analítica en el punto de $a$" después de una infinidad de pasos.

Me voy a concentrar en los tres primeros y puede omitir el resto; sólo lo estoy poniendo en un poco más de contexto.

Una función está definida en $a$ si tiene un valor en $a$. No todas las funciones se definen en todas partes: $f(x) = \frac{1}{x}$ no se define en $0$, $g(x)=\sqrt{x}$ no está definida en los números negativos, etc. Antes de que podamos hablar acerca de cómo la función se comporta en un punto, tenemos que la función se define en el punto.

Ahora, digamos que la función está definida en $a$. La intuitiva noción queremos referimos cuando hablamos de la función de ser "continua en $a$" es que la gráfica no tiene agujeros, roturas, o saltos en $a$. Ahora, esto es intuitivo, y, como tal, se hace muy difícil para revisar o funciones de prueba, sobre todo cuando no disponemos de sus gráficas. Así que necesitamos una definición de que es matemático, y que permite el ensayo y la falsificación. Una tal definición, apto para funciones de números reales, es:

Decimos que $f$ es continua en a $a$ si y sólo si tres cosas que sucede:

1. $f$ es definido en $a$; y
2. $f$ tiene un límite como $x$ enfoques $a$; y
3. $\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$.

La primera condición que garantiza que no hay agujeros en el gráfico; la segunda condición que garantiza que no hay saltos en $a$; y la tercera condición que no hay pausas (por ejemplo, tomando una línea horizontal y el cambio de un único punto de una unidad sería lo que yo llamo un "break").

Una vez que tenemos esta condición, podemos, de hecho, las funciones de prueba. Será que todo lo que nosotros pensamos que debería ser "continua en $a$" en realidad es de acuerdo a esta definición, pero también hay funciones que podrían parecer como que no debería ser "continua en $a$" en virtud de esta definición, pero son. Por ejemplo, la función $$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & \text{if }x\text{ is a rational number,}\\ x & \text{if }x\text{ is not a rational number.} \end{array}\right.$$ resulta ser continua en $a=0$ por debajo de la anterior definición, incluso a pesar de que tiene un montón y un montón de saltos y saltos. (De hecho, es continua sólo en $0$, y en ninguna otra parte).

Bien, demasiado malo. La definición es clara, potente, fácil de usar y captura la noción de continuidad, por lo que tendremos que dejar que unos pocos indeseables en el club si ese es el precio por tenerlo.

Decimos que una función es continua (como opuesto a "continua en $a$") si es continua en cada punto donde se define. Decimos que una función es continua en todas partes si es continua en cada punto (en particular, tiene que ser definido en todas partes). Este es quizás desafortunado terminología: por ejemplo, $f(x) = \frac{1}{x}$ es no continua en $0$ (no está definido en $0$), pero es una función continua (es continua en cada punto donde se define), pero no es continua en todas partes (no continua en $0$). Así, el lenguaje no es siempre lógica, solo aprendemos a vivir con ella (testigo "inflamable" y "inflamable", que significan la misma cosa).

Ahora, ¿qué acerca de la diferenciabilidad en $a$? Decimos que una función es diferenciable en a $a$ si el gráfico tiene una bien definida tangente en el punto de $(a,f(a))$ que no es vertical. ¿Qué es una tangente? La tangente es una recta que ofrece la mejor aproximación lineal a la función, de tal manera que el error relativo se va a $0$. Que es un bocado, se puede ver esto se explica en más detalle aquí y aquí. Excluimos verticales tangentes debido a que la derivada es en realidad la pendiente de la tangente en el punto, y las líneas verticales no tienen pendiente.

Resulta que, de forma intuitiva, con el fin de que exista una tangente en el punto, tenemos la gráfica para que no tengan agujeros, sin saltos, sin pausas, y sin esquinas afiladas o "segmentos verticales".

A partir de esa idea, se debe tener claro que para ser diferenciable en a $a$ la función tiene que ser continua en $a$ (para satisfacer a los "sin agujeros, sin saltos, sin pausas"), pero se necesita más que eso. El ejemplo de $f(x) = |x|$ es una función que es continua en a $x=0$, pero tiene un ángulo agudo; que el ángulo agudo significa que usted no tiene una bien definida tangente en $x=0$. Usted puede pensar que el de la línea de $y=0$ es la tangente allí, pero resulta que no cumple con la condición de ser una buena aproximación a la función, por lo que no es en realidad la tangente. No es tangente a $x=0$.

Para formalizar esto terminamos el uso de límites: la función tiene un no-tangente vertical en el punto de $a$ si y sólo si $$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\text{ exists}.$$ Lo que esto hace es simplemente diciendo: "hay una línea que ofrece la mejor aproximación lineal con un error relativo de ir a $0$." Una vez que llega, resulta que no captura de lo que había anteriormente en el sentido de que cada una de las funciones que creemos que debe ser diferenciable (tiene un nonvertical tangente) a $a$ va a ser diferenciable en esta definición. De nuevo, resulta que se abre la puerta del club para las funciones que podrían parecer como que debería no ser diferenciable, pero son. De nuevo, ese es el precio de hacer negocios.

Una función es diferenciable si es diferenciable en cada punto de su dominio. Es diferenciable en todas partes si es derivable en cada punto (en particular, $f$ se define en cada punto).

Debido a las definiciones, la continuidad es un requisito previo para la diferenciabilidad, pero no es suficiente. Una función puede ser continua en $a$, pero no diferenciable en a $a$.

De hecho, las funciones pueden ser muy salvaje. En el siglo 19, se ha demostrado que puede tener funciones que son continuas en todas partes, pero que no tiene una derivada en cualquier lugar (son "realmente spiky" funciones).

Espero que ayude un poco.

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Añadido. Te preguntan acerca de lo $|x|$ y, específicamente, sobre teniendo en cuenta $$\frac{|x+a|-|x-a|}{a}$$ como $a\to 0$.

La primera vez que voy nota que usted realmente desee considerar $$\frac{f(x+a)-f(x-a)}{2a}$$ en lugar de $a$. Para ver esto, considere el ejemplo sencillo de la función $y=x$, donde queremos que la derivada de ser $1$ en cada punto. Si consideramos el cociente de dar, obtenemos $2$ lugar: $$\frac{f(x+a)-f(x-a)}{a} = \frac{(x+a)-(x-a)}{a} = \frac{2a}{a} = 2.$$ Usted realmente desea dividir por $2a$, debido a que la distancia entre los puntos de $x+a$$x-a$.

El problema es que esto no es siempre una buena manera de encontrar la tangente; si no hay una buena definición de tangente, entonces la diferencia $$\frac{f(x+a)-f(x-a)}{2a}$$ le dará la respuesta correcta. Sin embargo, resulta que hay situaciones en las que esto le da una respuesta, pero no la respuesta correcta porque no hay tangente.

De nuevo: la tangente se define para ser el único de la línea, si existe, en el que el error relativo se va a $0$. El único candidato posible para una tangente en el $0$ $f(x) = |x|$ es la línea de $y=0$, así que la pregunta es por qué no es la tangente; la respuesta es que el error relativo no no vaya a $0$. Es decir, la relación entre lo grande que es el error si utiliza la línea $y=0$ en lugar de la función (que es el valor de $|x|-0$) y el tamaño de la entrada (lo lejos que estamos de $0$,$x$) siempre es $1$ al $x\gt 0$, $$\frac{|x|-0}{x} = \frac{x}{x} = 1\quad\text{if }x\gt 0,$$ y siempre es $-1$ al $x\lt 0$: $$\frac{|x|-0}{x} = \frac{-x}{x} = -1\quad\text{if }x\lt 0.$$ Que es: esta línea es no una buena aproximación a la gráfica de la función cerca de $0$: incluso a medida que más y más cerca y más cerca a $0$, si se utiliza $y=0$ como una aproximación de su error continúa a ser grande en relación a la entrada: no es cada vez mejor y mejor en relación con el tamaño de la entrada. Pero la tangente se supone que el error más pequeños y pequeñas en relación a lo lejos que estamos de $0$ a medida que nos acercamos más y más a cero. Es decir, si utilizamos la línea $y=mx$, entonces debe ser el caso que $$\frac{f(x) - mx}{x}$$ enfoques $0$ $x$ enfoques $0$, para decir que $y=mx$ es "la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$$x=0$". Este no es el caso para cualquier valor de $m$ al $f(x)=|x|$, lo $f(x)=|x|$ sí no tiene una tangente en el $0$. La "diferencia simétrica" que está utilizando es ocultar el hecho de que la gráfica de $y=f(x)$ ¿ no aplane a medida que nos acercamos $0$, aunque la línea que se está utilizando es horizontal todo el tiempo. Geométricamente, el gráfico no acercarse a la línea del enfoque de $0$: siempre es un muy mal de error.

Answer 2

La derivada, en palabras simples, es la pendiente de la función en el punto. Si consideras $|x|$ $x > 0$ la pendiente es claramente $1$ desde el no $|x| = x$. Del mismo modo, para $x<0$ la pendiente es $-1$. Por ello, si considera $x = 0$, entonces usted no puede definir la pendiente en ese punto, es decir a la derecha y a la izquierda derivadas direccionales no está de acuerdo en $x = 0$. Es por eso que la función no es diferenciable en a $x=0$.

Sólo para extender un comentario perfecto por Qiaochu más llamativo ejemplo, la ruta de ejemplo de un movimiento Browniano es continua pero no diferenciable:

Tenga en cuenta también que esta curva de exposiciones de la auto-similitud de la propiedad, así que si usted zoom, se ve el mismo y nunca tendrá un aspecto similar a una línea. También, el movimiento Browniano puede ser considerado como una medida (incluso una distribución de probabilidad) en el espacio de funciones continuas. El conjunto de funciones diferenciables tiene esta medida cero. Así que uno puede decir que es muy poco probable que una función continua es diferenciable (supongo que es lo que André significa en su comentario).

Answer 3

El valor absoluto de la función tiene derivada en todas partes, excepto en $x=0$. La razón no es derivado a $x=0$ es que si la definición de la derivada se aplica desde la izquierda, $$ \lim_{h\rightarrow0-}\frac{\lvert 0+h\rvert-\lvert0\rvert}{h}=-1, $$ usted recibirá una respuesta diferente que si se aplica en la de la derecha, $$ \lim_{h\rightarrow0+}\frac{\lvert 0+h\rvert-\lvert0\rvert}{h}=1. $$ Intuitivamente, la derivada es la pendiente de la línea tangente, que cambia abruptamente en $x=0$. La gráfica de la derivada de $\lvert x\rvert$ tendría un salto en $x=0$, y así sería discontinua allí. Por otro lado, el valor absoluto de la función en sí es continua en todas partes, incluyendo al $x=0$.

Este ejemplo ilustra el hecho de que la continuidad no implica la diferenciabilidad. Por otro lado, la diferenciabilidad implica continuidad. Intuitivamente, esto se debe a que, para que el cociente $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ a tener un límite de $h\rightarrow0$, debemos tener $f(x+h)\rightarrow f(x)$$h\rightarrow0$, que es el límite de la definición de continuidad.

Edit: para responder A su editar, haz una buena pregunta! Lo que estamos viendo es que usted puede obtener diferentes respuestas a la pregunta "¿Cuál es la derivada de la $\lvert x\rvert$$x=0$? " dependiendo de cómo haya configurado el cociente de la diferencia antes de tomar el límite: el límite de la izquierda da $-1$, el límite de la derecha le da $1$ y simétrica cociente da 0. Usted puede obtener otras respuestas. Por ejemplo, si queremos posicionar nuestro pequeño intervalo alrededor de a $x=0$ asimétrica, $$ \lim_{h\rightarrow0}\frac{\lvert0+\frac{2}{3}h\rvert-\lvert0-\frac{1}{3}h\rvert}{h} $$ llegamos $1/3$.

Si, en un determinado momento, todos estos métodos dan la misma respuesta, decimos que la función es diferenciable en ese punto. En cierto sentido, la definición de derivada es robusto en dichos puntos, ya que nos pueden hacer modificaciones naturales y aún así obtener el mismo resultado. Por otro lado, si, por el ajuste fino del procedimiento, se pueden obtener diferentes respuestas, entonces decimos que la función no es diferenciable en ese punto - la definición de derivada no es tan robusto allí, ya que al hacer modificaciones naturales, se pueden obtener diferentes respuestas.

Usted probablemente puede imaginar que en los puntos donde tenemos que robustez, podemos probar todo tipo de declaraciones fuertes sobre el comportamiento de la función. En los puntos donde no la tenemos, no podemos probar mucho. Por lo tanto tiene sentido inventar un término para la captura de esta distinción entre los dos tipos de punto.

Answer 4

Tienes muchas respuestas a la pregunta general. Me gustaría pasar un par de palabras en el cociente $$\frac{|x+a|-|x-a|}{a}.$$ Let's use a more conventional notation: $$\frac{|x+h|-|x-h|}{h}.$$ Now, it is pretty easy to prove that $$\lim_{h \to 0} \frac{|h|-|-h|}{h}=0.$$ You ask why this does not imply that $x \mapsto |x|$ is differentiable at $x=0$. La respuesta es, por un lado, simple: usted no hizo uso de la correcta definición de derivada :-)

Por otro lado, "su" definición se utiliza en las matemáticas, bajo diferentes nombres. En general, podemos considerar $$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}, \tag{1}$$ and this limit cooincides with $f'(x_0)$ provided that $f$ is differentiable at $x_0$. However, (1) may exist and yet $f$ is not differentiable at $x_0$. The limit (1) is often called symmetric derivative of $f$ at $x_0$.

Answer 5

El concepto básico de una derivada es la pendiente. La derivada da la pendiente en cualquier punto dado en el gráfico. Así que, como Matt insinuado, mirar un gráfico que tiene un punto agudo. ¿Cuál es la pendiente de un punto? (No hay uno, es indefinido) Simplemente porque es lo señalado no significa que es discontinua, pero no significa que no es diferenciable en todas partes. Así que para ser diferenciable, una función debe ser suave y continuo.

Espero que ayude